7.6. Главные оси и главные моменты инерции площадей плоских фигур.

Рассмотрим вначале, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Пусть известны моменты инерции площади А некоторой фигуры относительно центральных осей х и у:

.

Установим связь между моментами инерции и аналогичными характеристиками для осей х₁ и у_1, повёрнутых относительно осей х и у на угол против часовой стрелки (это направление отсчета углов примем положительным), см. рисунок 38.

Выразим координаты элементарной площадки в осях х₁ и у₁ через координаты осей х и у:

у₁ у

2 (min)

у dA

(max) 1

y₁

x₁

α α_o

C х x

площадь А

Рисунок 38. К определению положения главных осей и значений главных моментов инерции площади фигуры

Осевой момент инерции площади А относительно оси х₁:

Таким образом, получаем выражение момента инерции относительно оси х₁:

. (60)

Аналогично можно получить момент инерции относительно оси у₁:

(61)

Для центробежного момента инерции аналогичным путём можно получить формулу:

(62)

Из рисунка 38 видно, что (по теореме Пифагора, где ρ – гипотенуза)

Поэтому очевидно, что полярный момент инерции при повороте осей не изменяется:

(63)

Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух любых взаимно перпендикулярных осей при повороте их на любой угол α есть величина постоянная. При этом с изменением угла α один из моментов инерции в сумме увеличивается, а другой на столько же уменьшается. Следовательно, существует такое значение α = α_о, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, а другой – минимального значения. Такие экстремальные значения осевых моментов инерции называется главными моментами инерции, а соответствующие им оси – главными осями

(взаимно перпендикулярными друг к другу).

Дифференцируя выражение по и приравняв производную нулю, можно получить значение угла (см. рисунок 38), на который нужно повернуть оси х и у, чтобы получить направления главных осей 1 (ось max) и 2 (ось min):

или

откуда

(64)

По полученному тангенсу можно найти для угла два значения, отличающиеся одно от другого на . Эти углы определяют положение двух взаимно перпендикулярных осей 1 (ось max) и 2 (ось min) фигуры, относительно которых момент инерции ее площади А имеет наибольшее и наименьшее значения. Для определения этих главные осевые моменты инерции и , вернёмся к ранее записанным выражениям для моментов :

(65)

. (66)

Так как

то с помощью выражения

после преобразований можно исключить угол , получая в результате формулу для определения значений главных моментов инерции площади плоской фигуры:

(67)

где верхний знак (+) – для , а нижний (–) – для .

Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости фигуры. Однако практическое значение для расчётов элементов конструкций имеют только главные оси, проходящие через центр тяжести площади поперечного сечения стержня, то есть главные центральные оси инерции. Моменты инерции относительно этих осей называются главными центральными моментами инерции.

Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю. Действительно если вернуться к производной

которую мы выше определяли для выявления угла наклона главных осей к осям х и у, то сравнивая ёе выражение с выражением

учитывая, что

т. е.

Определить, относительно какой из главных осей главный момент инерции будет , а относительно какой , легко по знаку второй производной по :

Если вторая производная для данного значения угла будет со знаком минус, то выбранному значению угла соответствует максимум и обратно.

Для практических расчетов удобно применять формулы для определения значений одиночных углов, определяющих положения конкретных главных осей инерции фигуры:

; , (68)

где α₁ – угол между осью х и осью, относительно которой момент инерции равен , а угол α₂ – угол между осью х и осью, относительно которой момент инерции равен .

Положительные углы откладываются от оси х против хода часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке.

Следует отметить, что у симметричных фигур расположение главных центральных осей очевидно. Если фигура имеет одну ось симметрии, то ось симметрии заведомо является одной из главных осей инерции фигуры, а другая главная центральная ось проходит через центр тяжести фигуры и перпендикулярна к оси симметрии. Если фигура имеет две оси симметрии, то они и являются ее главными центральными осями инерции.

При инженерных практических расчётах в большинстве случаев конечной целью вычислений геометрических характеристик поперечных сечений стержней, представляющих собой те или иные плоские (нередко сложной формы) фигуры, является определение их главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции.