Относительно параллельно смещенных осей

Подставим значение новой координаты в выражение осевого момента инерции относительно оси х₁:

.

В полученном выражении 2а (с постоянным множителем 2а) – статический момент фигуры относительно центральной оси х; равен площади фигуры А. Так как ось х проходит через центр тяжести площади фигуры, то Тогда получаем следующую очень важную для практических расчетов формулу

(52)

Аналогично можно получить выражения:

(53)

Таким образом, из всех моментов инерции фигуры относительно параллельных осей, осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через собственный центр тяжести фигуры. Формулы (52) и (53) широко применяются в инженерной практике для вычисления осевых моментов инерции поперечных сечений стержней, представляющих собой сложные плоские фигуры.

7.5. Значения моментов инерции некоторых простейших фигур относительно различных осей.

Рассмотрим определение моментов инерции для прямоугольника относительно различных координатных осей по рисунок 37.

у₁ у

b

dy

у

C H

х

a

В

x₁

Рисунок 37. К определению моментов инерции фигуры относительно собственных

Центральных осей ху и параллельно смещенных осей х1у1

Осевые моменты инерции прямоугольника шириной В и высотой Н определим вначале относительно его собственных центральных осей х и у.

Выделим из прямоугольника элементарную площадку dA (на рисунке 37 она заштрихована) шириной В и толщиной dy на расстоянии у от центральной оси х. Момент инерции всего прямоугольника определяется суммированием моментов инерции элементарных площадок по всей площади прямоугольника относительно оси х:

Таким образом, момент инерции прямоугольника относительно собственной оси х:

. (54)

Аналогично относительно собственной центральной оси у:

(55)

Осевые моменты инерции относительно параллельно смещенных осей х₁ и у₁:

Полярный момент инерции прямоугольника в системе осей х и у:

Центробежный момент инерции прямоугольника в системе осей х и у равен нулю, поскольку эти оси совпадают с осями симметрии прямоугольника.

Моменты инерции площади круга определяются по методике, подобной изложенной выше. Приведем конечные формулы для определения моментов инерции круга диаметром d.

Полярный момент инерции круга

(56)

Учитывая, что то, в силу симметрии круга относительно любой центральной оси, осевые моменты инерции одинаковы:

(57)

Осевые моменты инерции круга относительно осей х₁ и у₁:

Полярный момент инерции круга в системе осей х₁ и у₁:

Полярный и осевые моменты инерции кругового кольца можно определить как разности между соответствующими моментами инерции круга с наружным диаметром d и с внутренним диаметром d_о. Обозначив соотношение диаметров с = d_о/ d, в центральных осях х и у получим формулу для полярного момента инерции:

. (58)

Осевые моменты инерции кольца в собственных центральных осях х и у:

. (59)