7.3. Моменты инерции площадей плоских фигур (поперечных сечений элементов конструкций)

Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно некоторой оси называется взятая по всей ее площади А сумма произведений (интеграл) элементарных площадок dA на квадраты их расстояний от этой оси (см. рисунок 34,б):

(48)

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно некоторого полюса О (начала координат системы хОу) называется взятая по всей ее площади А сумма произведений (интеграл) элементарных площадок, образующих данную фигуру, на квадраты их расстояний ρ (полярные координаты) до этого полюса:

(49)

Центробежным моментом инерции плоской фигуры в некоторой системе координат хОу называется взятая по всей ее площади А сумма произведений (интеграл) элементарных площадок dA на произведения их координат х и у:

(50)

Сумма осевых моментов инерции в соответствии с правилами суммирования интегралов может быть представлена в виде:

Учитывая что (по теореме Пифагора)

окончательно получаем (51)

Таким образом, сумма осевых моментов инерции плоской фигуры относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этой фигуры относительно точки пересечения указанных осей.

Единицы измерения моментов инерции – м⁴, см⁴, мм⁴ и др. Осевые моменты инерции, а также полярный момент всегда положительны.

Центробежный момент инерции в зависимости от расположения фигуры может быть положительным или отрицательным, либо равным нулю.

Можно показать, что центробежный момент инерции фигуры относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осью симметрии, равен нулю. Это обусловлено тем, что каждой положительной координате элементарной площадки dA1 соответствует отрицательная координата аналогичной площадки dA2 =dA1=dA и сумма произведений (интеграл) xydA для этих площадок равна нулю.

Осевой и полярный моменты инерции сложной плоской фигуры относительно некоторой оси равны сумме осевых моментов инерции составляющих данную фигуру более простых частей относительно этой же оси. Это правило суммирования осевых моментов инерции аналогично правилу суммирования статических моментов площади. Полярный момент инерции сложной фигуры относительно некоторой точки равен сумме полярных моментов инерции ее отдельных частей относительно той же точки. Аналогично центробежный момент инерции сложной фигуры относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции составляющих ее частей относительно этих же осей.

Следует отметить, что нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно разных осей или точек.

7.4. Формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей.

В расчетной инженерной практике часто приходится вычислять моменты инерции поперечных сечений стержней, представляющих разные плоские фигуры, относительно разных осей.

Пусть известны моменты инерции площади фигуры относительно центральных осей х и у.

Требуется определить моменты инерции относительно осей х₁ и у₁, параллельных центральным осям х и у и отстоящих от них на расстояниях а и b соответственно (см. рисунок 36).

Рассмотрим элементарную площадку dA с текущими координатами х и у в системе центральных осей хОу. Координаты этих же элементарной площадки в системе осей х₁ и у₁ равны:

у₁. b у х

х₁ dA

y

О .

х

A y₁

a

O1 х₁

Рисунок 36. К определению моментов инерции площади фигуры