7.2. Статические моменты площади. Определение центра тяжести

площади плоского сечения тела.

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру, связанную с системой координат хОу (см. рисунок 34,б). Выделим в пределах площади А элементарную площадку с текущими координатами х и у.

По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно записать выражение и для момента площади, называемого статическим моментом. Так применительно к элементарной площадке статический момент относительно осей Ох и Оу соответственно запишется:

Суммируя (интегрируя) элементарные статические моменты по всей площади фигуры, получим соответственно статические моменты относительно осей х и у:

(45)

Статические моменты площади измеряются единицах длины в кубе (м³, см³, мм³ и т.п.). Пусть точка с координатами и является центром тяжести плоской фигуры, полная площадь которой равна А. Тогда можно записать выражения для статических моментов рассматриваемой фигуры относительно осей х и у

Таким образом, если известны площадь сечения А и статические моменты этой площади и , можно определить координаты центра тяжести плоской фигуры относительно осей у и х:

(46)

В зависимости от знака координат статический момент площади может принимать положительные или отрицательные значения. В частном случае, если ось, относительно которой определяется статический момент площади, проходит через центр тяжести сечения (при или ), статический момент равен нулю. Такие оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями площади.

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, для каждой из которых определяется площадь и положение центра тяжести (см. рисунок 35).

у

С₁

у_с1 4 см

у_с С

С₂ 5 см

у_с2

х

х_с2 х_с х_с1

5 см 4 см

Рисунок 35. К расчету координат центра тяжести С площади фигуры,

Расчленяющейся на два прямоугольника с площадями а1 и а2

Обозначим через А1 и А2 площади прямоугольников, составляющих фигуру в целом, а х_с1, у_с1 и х_с2, у_с2 – соответственно координаты центров тяжести площадей этих прямоугольников. Статический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:

В общем случае, если фигура разбивается на «n» простых частей то,

Тогда координаты центра тяжести сложной плоской фигуры определяется по формуле:

(47)

Таким образом, порядок определения центра тяжести сечения сложной формы следующий:

- сечение разбивается на части, имеющие форму простых фигур, и определяются площади и положения центров тяжести каждой из этих простых фигур;

- выбираются произвольные оси координат, относительно которых вычисляются статические моменты всех простых фигур и суммируются для всего сечения;

- по формулам (47) вычисляются координаты центра тяжести всего сечения.