6.13. Понятие о трехосном (объемном) напряженном состоянии

При анализе трехосного (объемного) напряженного состояния используется трехмерная ортогональная система координат Оxyz. При этом рассматривается элементарный параллелепипед (с бесконечно малыми размерами граней dx, dy, dz), выделенный из анализируемого напряженно-деформированного тела, см. рисунок 32,а.

y σ₁

σ_у

τ_yz τ_yx σ₂

τ_xy σ₃

τ_zy τ_zx σ_x

τ_xz σ₃

σ_z О x О

σ₂

σ₁

z а) б)

Рисунок 32. Схемы объемного напряженного состояния: а) исходное (заданное)

Положение площадок; б) положение главных площадок

Значения напряжений, действующих на гранях элементарного параллелепипеда, в компактном виде записываются обычно в специальной таблице – тензоре напряжений:

, например МПа.

Значения касательных напряжений ( – попарно равные согласно закону парности касательных напряжений) в тензоре напряжений Т_σ записаны симметрично относительно главной диагонали, на которой расположены нормальные напряжения . Правило индексации напряжений рассмотрено выше.

Изменяя угловое положение элементарного параллелепипеда (мысленно поворачивая относительно начала координат О), можно всегда найти такое его единственное (для данного напряженного состояния) положение, при котором на всех гранях касательные напряжения будут равны нулю, а нормальные напряжения имеют экстремальные значения – три главных напряжения, см. рисунок 32,б. Более детальное изучение трехосного напряженного состояния не входит в программу изучения курса «Инженерная механика 1», оно является предметом изучения в курсе «Инженерная механика 2».

6.14. Обобщенный закон Гука

Рассмотрим определение относительных линейных деформаций и при плоском напряженном состоянии, см. рисунок 33,а. Для этого используем ранее рассмотренный закон

σ₁ σ₁

ε₁ ε₁₁ ε₁₂

σ₂ σ₂ σ₂ σ₂

ε₂

σ₁ σ₁ ε₂₁ ε₂₂

а) б) с)

Рисунок 33. Схемы для пояснения обобщенного закона Гука

Гука для одноосного нагружения стержня , зависимость между поперечной и продольной деформациями – коэффициент Пуассона (см. лекцию 7), а также принцип независимости действия сил (принцип сложения деформаций).

От действия одного вертикального (первого главного) напряжения одновременно возникают деформации элементарного фрагмента тела в двух взаимно перпендикулярных направлениях (см. рисунок 33,б):

- относительное вертикальное удлинение ,

- относительное горизонтальное сужение .

От действия одного горизонтального (второго главного) напряжения одновременно возникают деформации элементарного фрагмента тела также в двух взаимно перпендикулярных направлениях (см. рисунок 33,в):

- относительное горизонтальное удлинение ,

- относительное вертикальное сужение .

Суммируя деформации и , получим формулы обобщенного закона Гука для двухосного (плоского) напряженного состояния:

; . (41)

Если известны линейные деформации и , то из последних формул можно получить формулы для определения напряжений:

; . (42)

Аналогично можно получить формулы обобщенного закона Гука для трехосного (объемного) напряженного состояния:

; ; , (43)

где линейные деформации , и в направлениях соответствующих главных напряжений , и называются главными деформациями.

Вышеприведенные формулы обобщенного закона Гука выражают зависимости не только между главными деформациями и главными напряжениями, но и между любыми значениями этих величин. Они остаются справедливыми также и на тех элементарных площадках напряженно-деформированного тела, где действуют касательные напряжения.

Контрольные вопросы:

1) Чем отличаются между собой нормальные σ и касательные τ напряжения?

2) Что такое главные площадки и главные напряжения?

3) В каких сечениях одноосно нагруженного стержня действуют максимальные (экстремальные) касательные напряжения? А при двухосном напряженном состоянии?

4) Поясните закон парности (взаимности) касательных напряжений.

5) Чему равна сумма нормальных напряжений, действующих в двух взаимно перпендикулярных сечениях (площадках) при одноосном напряженном состоянии? Какова эта сумма при двухосном напряженном состоянии?

6) Объясните общепринятую систему обозначений напряжений при сложных напряженных состояниях. Как обозначаются главные напряжения и каково общее соотношение между их значениями?

7) Как определяются положение главных площадок и значения главных напряжений при двухосном напряженном состоянии? Поясните соответствующие формулы.

8) Поясните правило знаков для нормальных и касательных напряжений.

9) Что такое тензор напряжений и как он записывается для двухосного и трехосного напряженных состояний деформированного тела?

10) Запишите формулы обобщенного закона Гука для двухосного и трехосного напряженных состояний деформированного тела. Объясните все параметры, входящие в них.

ГЛОССАРИЙ

	Касательные напряжения	Tangents of a pressure
	Главные площадки	The main platforms
	Главные напряжения	The main pressure
	Внешняя нормаль	An external normal
	Плоское напряженное состояние тела	The flat intense condition of a body
	Объемное напряженное состояние тела	The volumetric intense condition of a body
	Закон парности касательных напряжений	The law of paired relationship of tangents of pressure
	Тензор напряжений	Tenzor pressure
	Обобщенный закон Гука	Generalized law Guck

Рекомендуемая литература

1. Александров А.В. и др. Сопротивление материалов. Учебник для вузов – М.: Высш. шк., 2001. – 560 с. (с. 54…56; 341…359).

2. Степин П.А. Сопротивление материалов. – М.: Высш. школа, 1983. – 303 с. (с. 46…54).

3. Справочник по сопротивлению материалов/Писаренко Г.С. и др. – Киев: Наукова думка, 1988. – 737с. (с. 153…163).

Контрольные задания для СРС.

1) Двухосное (плоское) напряженное состояние (см. п. 6.12).

2) Понятие о трехосном (объемном) напряженном состоянии (см. п. 6.13).

3) Обобщенный закон Гука (см. п. 6.14).

4) Расширить подготовку по материалам учебной литературы ([1], с. 54-56; 341-359; [2], с. 46…54; [3], с. 153…163).