6.9. Основы теории напряженного состояния. Внутренние усилия и напряжения в косых сечениях при одноосном растяжении-сжатии стержней

Наиболее полное представление о напряженном состоянии стержней при одноосном растяжении-сжатии можно получить, если проанализировать внутренние усилия и напряжения, возникающие в любом поперечном сечении, наклоненном к продольной оси стержня под произвольным углом. Рассмотрим стержень, на который действует центрально приложенная растягивающая сила F (собственный вес стержня для упрощения не

а) б) в) г)

N

α

m N_α T_α

α

m

n n

N = F

F

Рисунок 30. Схемы к анализу одноосного напряженного состояния стержня

учитываем), см. рисунок 30,а. Рассечем стержень двумя поперечными сечениями –

нормальным (к центральной оси стержня) сечением n-n и косым сечением m-m, наклоненным к нормальному сечению n-n под углом α. Площадь нормального сечения n-n равна А, а площадь косого сечения m-m тогда будет равна А_α = А/cosα.

Рассмотрим в силовом равновесии фрагмент стержня, выделенный между этими сечениями, см. рисунок 30,б. В нормальном сечении n-n возникает внутренняя продольная сила N = F, направленная вниз. Такая же по величине внутренняя продольная сила N = F, направленная вверх (фрагмент стержня находится в силовом равновесии), возникает в центре косого сечения m-m. Внутреннюю продольную силу N в косом сечении m-m разложим на две ортогональных составляющие: нормальную к сечению m-m N_α = N·cosα и касательную к нему Т_α = N·sinα. Теперь проведем сопоставление напряжений в сечениях n-n и m-m. В сечении n-n внутренняя продольная сила распределяется в виде нормального напряжения, см. рисунок 30,в

,

а в косом сечении m-m по его площади А_α = А/cosα распределяется нормальная проекция

N_α = N·cosα в виде нормального напряжения

(27)

и касательная проекция Т_α = N·sinα в виде касательного напряжения

. (28)

Запишем более компактно, для удобства последующего анализа:

; ; .

6.10. Главные площадки и главные напряжения, экстремальные касательные напряжения

Проведем сопоставительный анализ и синтез полученных выше формул для напряжений σ, σ_α и τ_α. Рассмотрим напряжения в косых сечения m-m при различных значениях углов α их наклона по отношению к нормальному сечению n-n.

1) При α = 0 косое сечение m-m становится нормальным к центральной оси стержня, при этом cos²α = 1, sin2α = 0 и нормальное напряжение становится максимальным (σ_α = max σ_α = σ), а касательное напряжение τ_α = 0. Из этого следует важнейшее общее положение в теории напряженного состояния любого типа: площадки (поперечные сечения конструкции), в которых касательные напряжения равны нулю (τ_α = 0), а нормальные напряжения достигают экстремальных (max или min) значений, называются главными площадками напряженного тела. Экстремальные нормальные напряжения, действующие в главных площадках, называются главными напряжениями. Таким образом, при одноосном центральном растяжении-сжатии стержней главными площадками являются любые нормальные поперечные сечения типа n-n (с α = 0), а главными напряжениями – нормальные напряжения в этих площадках σ.

В более сложных случаях двухосного растяжения-сжатия, рассматриваемого в ортогональной двухосной системе координат получают два главных напряжения: первое главное напряжение, обозначаемое σ₁ и второе главное напряжение, обозначаемое σ₂, причем с учетом алгебраических знаков , а оси 1 и 2, параллельно которым направлены и , взаимно перпендикулярны. При трехосном (объемном) напряженном состоянии получают три главных напряжения: первое главное напряжение, обозначаемое σ₁, второе главное напряжение σ₂ и третье главное напряжение σ₃, причем с учетом алгебраических знаков , а оси 1, 2 и 3, параллельно которым направлены , и , взаимно ортогональны.

2) При α = π/2 = 90^о косое сечение m-m становится продольным сечением стержня; при этом cos²α = 0 и sin2α = 0, а, следовательно, σ_α = 0 и τ_α = 0. Отсюда следует вывод: при одноосном центральном растяжении-сжатии стержней в любых сечениях, параллельных их центральной оси, напряжения отсутствуют.

3) При α = π/4 = 45^о получаем cos²α = 0,707² = 0,5 и sin2α = sin π/2 = 1, при этом σ_α = 0,5σ и τ_α = max τ_α = 0,5σ; таким образом, в площадках (в сечениях), наклоненных под углом α = π/4 = 45^о к главным площадкам возникают максимальные (экстремальные) касательные напряжения, равные по модулю половине величины главного напряжения (это положение является общим для любого типа напряженного состояния).