6.7. Условия жесткости стержней при центральном растяжении и сжатии

Расчетная оценка продольной жесткости элементов конструкций является одной из важных инженерных задач, которые решаются при проектировании различных конструкций. После определения с помощью метода сечений внутренних усилий в поперечных сечениях на различных участках центрально растянутого (или сжатого) стержня можно определить по методике, изложенной в подразделе 6.3, его продольные деформации и провести оценку его жесткости. При оценке продольной жесткости стержней при центральном растяжении и сжатии определяются расчетные продольные деформации элементов конструкций Δl или ε, которые сопоставляется с соответствующими допускаемыми деформациями или , что обычно записывается в форме проверочного условия жесткости стержней при центральном растяжении-сжатии:

или , (26)

где или – соответственно абсолютные и относительные допускаемые деформации, которые приводятся в справочниках для проектировщиков в конкретных отраслях промышленности и народного хозяйства (для элементов строительных конструкций они приводятся в СНиПах).

Если расчетное значение деформации Δl (или ε) не превышает допускаемого значения (или ), то считается, что продольная жесткость элемента конструкции, подверженного центральному растяжению (сжатию), достаточна. Если же вышеприведенное условие продольной жесткости не выполняется, то считается, что продольная жесткость элемента конструкции недостаточна и необходимо скорректировать его конструктивно-технологические параметры с целью достижения этого условия жесткости (при этом возможны конструктивные, технологические и конструктивно-технологические варианты корректировки).

6.8. Понятие о статически неопределимых системах и методах их расчетов

Выше рассматривались простые элементы конструкций в виде одиночных стержней с простейшими опорными закреплениями, в которых для определения реакций в опорных связях и внутренних усилий в любых сечениях достаточно применить соответствующие уравнения статического равновесия. Такие конструкции называются статически

определимыми системами. В инженерной практике применяется много конструкций, в которых количество наложенных внешних опорных и/или внутренних связей превышает число уравнений статики, которые могут описать равновесие этих конструкций и их элементов. Рассчитать все реакции в опорных связях и внутренние усилия во всех поперечных сечениях таких конструкций с помощью одних только уравнений статики нельзя, поэтому они называются статически неопределимыми конструкциями (системами). Для расчета статически неопределимых конструкций, кроме уравнений статики, приходится составлять (по специальной методике) и применять дополнительные уравнения, учитывающие особенности совместного деформирования элементов конструкции в процессе воздействия на нее внешних нагрузок или других факторов.

Общая методика расчета статически неопределимых конструкций (систем):

1) Проводится статический анализ системы (создается эквивалентная схема системы с освобождением конструкции от опорных связей, которые заменяются силами реакций этих связей; составляется система уравнений статического равновесия, в которые входят известные и неизвестные силовые факторы; определяется количество «избыточных» силовых факторов в уравнениях статики, которое называется степенью статической неопределимости конструкции: п_с = п_н – п_у, где п_н – количество неизвестных силовых факторов в уравнениях статики, п_у – количество самих уравнений статики, описывающих равновесие конструкции); если п_с = 0, то система статически определима и для ее расчета будут достаточны только уравнения статики; если п_с = 1, то система один раз статически неопределима; если п_с = 2, то система дважды статически неопределима и т. п.;

2) Осуществляется деформационный анализ конструкции, т. е. рассматривается ее переход из недеформированного (ненагруженного) состояния в деформированное (с действующими заданными внешними нагрузками) состояние; из сопоставления деформированной и недеформированной схем анализируются совместные деформации элементов конструкции и составляются уравнения совместности деформаций элементов, усилия в которых неизвестны; количество этих уравнений совместности деформаций должно быть равно степени статической неопределимости системы п_с;

3) На основе уравнений совместности деформаций составляются дополнительные силовые уравнения, количество которых равно п_с; при этом для преобразования уравнений совместности деформаций в дополнительные силовые уравнения применяются разные методы и физические законы, в частности, закон Гука, связывающий между собой усилия и деформации; таким образом, общее количество силовых уравнений (уравнения статики + дополнительные силовые уравнения) становится равным п_н = п_у + п_с и их совместное решение позволяет определить все силовые факторы в статически неопределимой системе;

4) Выполняется раскрытие статической неопределимости системы, т. е. совместно решаются уравнения статики и дополнительные силовые уравнения с целью вычисления всех неизвестных силовых факторов в статически неопределимой системе;

5) Дальнейший расчет статически неопределимой конструкции не отличается от расчета статически определимых конструкций (методом сечений определяются внутренние усилия и напряжения, рассчитываются деформации и перемещения поперечных сечений, проводятся расчеты на прочность и жесткость и т. д.).

Рассмотрим применение этой методики на простейшем примере.

На рисунке 29,а приведена схема однородного одиночного стержня ОВ, оба конца которого жестко закреплены (заделаны), известные исходные данные следующие: в точке С центральной оси стержня приложена заданная внешняя равнодействующая сила F; общая длина стержня ОВ = l = const; площадь поперечных сечений А на всей длине l стержня одинакова; положение точки С задано и длины участков равны l_OC и l_CB. Так как стержень однороден, то модуль его продольной упругости по всей длине E = const .Требуется раскрыть статическую неопределимость этой конструкции.

О С В О С В

F N_O F N_B

l_OC l_CB l_OC –Δl_OC l_CB +Δl_CB

l l = const

а) б)

Рисунок 29. К расчету статически неопределимого стержня: а) исходная схема;