Сходящихся сил

Доказательство. Пусть дана система сходящихся сил (всего n сил), приложенных в точке В некоторого тела. Расположение произвольной точки О относительно точки В характеризуется радиус-вектором . Равнодействующая этой системы сил есть векторная сумма: .

Из определения момента силы (здесь – равнодействующей) относительно точки О запишем:

,

что и требовалось доказать.

4.3. Приведение системы сил к заданному центру

Теорема. Произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру, заменив все действующие силы одной силой, равной главному вектору системы сил, приложенному в этом центре, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно того же центра (пояснение см. на рисунке 19). Коротко: любую систему сил, действующих на тело, можно эквивалентно заменить двумя силовыми факторами: главным вектором и главным моментом .

Пусть на тело в точках О₁, О₂,…, О_i, …, O_n действуют соответственно силы (см. рисунок 19,а). Приведем эту произвольную систему сил к точке О, совмещенной, например, с ортогональной системой координат Охуz. Для этого переносим каждую силу параллельно самой себе из точки ее действия О_i в точку О, присоединяя для компенсации переноса (по методу Пуансо) соответствующий момент пары сил , см. рисунок 19,б.

z O₁ z O₁ z O₁

О₂ O₂ O₂

О у О у О у

x O_n x O_n х О_n

а) б) в)

Рисунок 19. Схемы приведения системы сил к произвольной точке тела:

А) исходная система сил; б) после переноса силовых факторов в точку о; в) эквивалентная система с главным вектором и главным моментом

Далее заменяем (векторным суммированием) сходящиеся в точке О векторы сил одной силой

,

которую называют главным вектором системы сил. Геометрически складываем также все векторы моментов пар сил , заменяя их одним (равнодействующим) моментом

,

который называют главным моментом системы сил.

Таким образом, произвольную систему сил, действующих на тело, мы эквивалентно заменили двумя силовыми факторами: главным вектором и главным моментом , см. рисунок 19,в.

Следует отметить, что при параллельном переносе сил в любой центр приведения не изменяются ни величины, ни направления этих сил. Поэтому главный вектор системы сил не зависит от того, какая точка тела принята за цент приведения. Таким образом, главный вектор является инвариантом (неизменяемой величиной) данной системы сил. В отличие от главного вектора главный момент системы сил не является ее инвариантом, т. к. он зависит от выбранного центра приведения. При перемене центра приведения изменяются и моменты сил системы относительно этого центра, поэтому изменяется и главный момент.