Vні} Помножимо і поділимо прану частину формули на (///«), тоді
/ . \ іп п
і і'і^ч}
1 = 7;\ І" )111
./( /у"
(1^) 1
Першиіі множник — цс коефіцієнт зведення ренти зі ставкою ]/т і терміном п, а другиіі — обернене значення коефіцієнта нарощення ренти з тією ж ставкою відсотків Отже,,„.^М 7/ Л;т
т \ III)
Приклад 5. Страхові внески на 400 грн. вносяться раз на рік протягом 10 років. Відсотки за номінальною ставкою 12% нараховуються щоквартально. Визначити теперішню вартість майбутнього страхового фонду.
Дано: Д=400 грн.; л=10; от=4;/=12%; А — ?
Обчислимо;
т п=10 4=40;]/т=0,12/4=0,03.
За формулою (2.53)
А=400 РУІРА(3%;40)/ГУІРА(3%;4)=400 23,115/4,1836=2210,06 грн.» «2210 грн.
Отже, зараз страховий фонд, який нагромадиться за 10 років, вартує 2210 грн.
Для/^ термінової ренти розглянемо три випадки, коли: /и=1;
б) т>\; т^р; в) /?;>!; т =р.
а) Коли відсотки на платежі, які надходять/? разів на рік, нараховуються лише один раз на рік (/»=!), то утворюється формула
^~0^=/^?• (2.54) р \(1+і)Р 1 \)
Приклад б. В Індії на хімзаводі у Бхапалі сталася аварія. Власник підприємства корпорація "Юніоіг Карбайд" запропонувала компенсацію 200 млн дол. США, які сплачуватимугься протягом 35 років. Доведіть, що така компенсація у майбутньому еквівалентна теперішній сумі 57,5 млн дол., якщо планувалося вносити платежі щомісяця, ставка відсотків 10%.
Дано: Д=200/35=млн $5,714; /і=35; А — ? За формулою (2.54) /=10%
. ,. 1 (1+0,1) 35 ^=5,714.——^ ———^——у =57,59 (мли $).
12.ІП+О.ПІ2 1ІОтже, компенсаційні виплати па даний момент часу становили би млн $ 57,59, тому посольство Індії відмовилося від цієї пропозиції, вважаючи цю суму недостатньою.
б) Коли відсотки нараховують т разів, але т^р, тоді
/. \ т п 11+у
А=К. ^ '"{ (2.55)
/..[іну і
v "й
V/
в) Для ситуації, коли кількість платежів збігається з кількістю нарахувань відсотків (р=т), отримаємо формулу
"ж,,. 7 РУ^^т п}
Ш П;~1 ... І
А=к ——"1 =/?.——— ^———} .(2.56) тт
Приклад 7. Фінансове зобов'язання передбачає виплати протягом 5 років за 10 тис грн. на рік та нарахування відсотків — 8% номінальних. Яка сума необхідна для того, щоб разом з нарахованими на неї відсотками забезпечити такі платежі? Розглянемо варіанти умов зобов'язання:
а) виплати проводяться раз наприкінці року, відсотки — за півріччя;
б) щоквартальна виплата і нарахування відсотків.
Дано: Л=10 тис грн.; п=5;}=К°о; а)р=1 т=2; б)р=т=4. А,— ? А^— ?
а) За формулою (2.55)
1 п+^^8) 1()
А ,=10000 ——————— =10000РУІРА(4%;Ю)/РУІРА(4%;2)=
^0^2.^
=10000 8,110896/2,04=39759,29 (грн.") Для випадку б) використаємо формулу (2.56)
А^=10000 РУІГА(2%;20)/4=10000 16,35143/4=40878,58 (грн.)
Теперішня величина ренти, як і нарощена її сума, залежить від частоти платежів і нарахувань відсотків.
Якщо позначити теперішні вартості А(р;т), Л(1;Ї) — річна рента з нарахуваннями відсотків раз на рік, то для однакових інших параметрів отримаємо нерівності:А(1;т) < А(1;1) < А(р;т) < А(р;т) < А(р;т) < А(р;1) т>11<р<т р=1т>1р>т>1 р>1.
Наприклад, при однаковій річній сумі платежів, рівних відсоткових ставках і збігу загального терміну ренти умови р=2;
т=4 дають меншу теперішню вартість, ніж /?=4; т=1.
Між нарощеною та теперішньою величинами рент існує взаємозв'язок. Теперішня величина ренти — цс оцінка аннуїтету на даний момент часу (для термінової ренти — до початку терміну). Нарощена сума — це узагальнений показник, який характеризує ренту на кінець її терміну.
Якщо А — теперішня вартість ренти на початок терміну; ,5 — кінцева сума рентних платежів, то нарощення складних відсотків на суму А за п років повинно давати суму 5'
^(І.О"^.1 0^"".^^"^.^^" ^^ / /
Отже, взаємозв'язок між величинами А та 5' можна виразити формулою
А (1+і)"=Я.(2.57)
Приклад 8. У прикладі 7 теперішня вартість ренти для випадку а) — 39759,29 грн. Яка нарощена сума ренти за тих же умов? Дано: К= 10 тис грн.; п=5; от=2;у=8%; Л=39759,29 грн. 5— ? Замість / у формулу (2.57) підставимо у/от, а замість п — т п, тоді
5=39759,29•(1+0^8)10=39759,29•(1,04) =
=39759,29 РУІР(4%;10)=39759,29 1,480244=58853,45(грн.). Отже, ціна аннуїтету через 5 років — 58853,45 грн.