3. Теперішня вартість ренти

Як було зазначено у п.2.6.1., теперішня величина аннуїтету — це сума всіх дисконтованих членів потоку платежів на деякий попередній момент часу.

Далі буде показано, що теперішня ціна ренти у фінансовому значенні є еквівалентною всім платежам, які охоплюються потоком. Цей узагальнюючий показник є дуже важливим і широко використовується у практиці при страхових розрахунках, погашенні боргів, визначенні ефективності фінансово кредитних операцій.

Розглянемо спочатку на аналітичному простому прикладі, як у п.2.6.2, означення теперішньої вартості ренти. Нехай планується протягом трьох років надходження платежів у розмірі 100 грн. наприкінці року, і на них нараховуватимуться відсотки за ставкою 5% річних. Продисконтуємо кожен із цих трьох платежів за ставкою 5% на початок терміну ренти, тобто перші 100 грн. дисконтуємо за 1 рік, і вартість цих грошей становитиме 100/1,05; другі 100 грн. дисконтуємо за 2 роки, і вартість 'їх дорівнюватиме 100/(1,05)²; треті 100 грн. після дисконтування становитимуть 100/(1,05)³. Покажемо цей процес розрахунків дисконтованих платежів схематично (рис. 2.9.).

початок Лінія відліку часу 123

часу платежі, г.о,100100100

95,24 ^

90,70 <————————1

86.38———————————————

272,32

Рис. 2.9. Розрахунок дисконтованих платежів.

Отже, теперішня вартість річної звичайної ренти з параметрами: 7?= 100 грн.; п=3 роки; /=5% дорівнює 100 100 100 Го5⁺Т^5²"⁺и)5³⁼⁹⁵'²⁴⁺⁹⁰'^70+86)38=272'^{32(^}•^о)•

Узагальнимо цей приклад, щоб вивести формулу теперішньої вартості річної звичайної ренти (А)Якщо рента термінова, тобто момент оцінки теперішньої величини збігається з початком ренти (як у наведеному прикладі), то дисконтовані платежі утворять ряд:

КК К К 1+/'(1+^•)²'(1+0³""'(1+^•)"'

Це скінченна зростаюча геометрична прогресія з першим членом К та знаменником прогресії —= (1+/)~¹.

Знайдемо суму членів такої прогресії

А=К.Ї^^=К.¹^¹^ —— 1'

¹+^/ (2.52)

Отже, теперішня вартість річної ренти —

^.І^¹^. »

і (і +;•) " Величину ———:——=д„;, називають коефіцієнтом зведення

ренти, або процентним фактором теперішньої вартості аннуїтету (РУІГА(і;п) — Ргсаеп( Уаіие Іпїегечі Расїог Липні/ієн)

А=К РУ]РА(і;п).(2.52')

Коефіцієнт о„;, залежить від ставки відсотків та числа членів

ренти і характеризує теперішню вартість ренти, члени якого дорівнюють Ігрн. Його значення знаходимо у спеціальних таблицях складних відсотків (додаток 13).

Приклад 4. Вкладник хоче протягом трьох років отримувати щорічний доход 1000 грн., депозитна ставка банку — 5%. Яка теперішня вартість цього аннуїтету?

Дано: А=1000 грн.; 1=5%; п=3;.А — ?

За формулою (2.5 Г)

А'=1000 РУІРА(5%;3)=1000 2,7232=2723,25 грн.

Отже, майбутні платежі за 1000 грн. в рік оцінюються сьогодні 2723,25 грн.

Розпишемо докладно, як утворилася ця рента:

Початковий вклад (теперішня вартість) 2723,25 грн. 5% платежу за перший рік + 136.13 грн. Усього наприкінці першого року 2859,41 грн. Виплати за перший рік1000.00 грн. Сума вкладу на початок другого року 1859,41 грн. 5% платежу за другий рік92.97 грн. Усього наприкінці другого року 952,38 грн. Виплати за другий рік 1000.00 грн. Сума вкладу на початок третього року 952,38 грн. 5% платежу за третій рік47.62 грн. Усього наприкінці третього року000,00 грн. Виплати за третій рік1000,00 грн.

Як і нарощена сума, теперішня вартість ренти залежить від умов (параметрів), які її описують. Формула (2.52) справедлива лише для річної ренти за умови, що відсотки теж нараховуються раз на рік. Якщо відсотки нараховуються на платежі т разів на

рік, то в формулу (2.52) замість виразу (1+і)~" слід поставити

,• . \ т п

\+ і.. Після такої заміни формула для теперішньої вартості

V'" І

ренти видозміниться:

/ . \ т п

1 1^

•^• т^—

м¹