Зависимость между горизонтальными углами и дирекционными углами сторон хода

Рис. 42. Зависимость между дирекционными углами сторон хода

Если дан дирекционный угол α _1-2 линии 1-2 (рис. 42) и измерен угол β или ε, то легко вычислить дирекционный угол линии 2-3.

Будем считать, что ход идет от точки 1 к точке 3. Тогда относительно точки 2 линия 1-2 будет предыдущая, а линия 2-3 последующая. При этом β будет правым, а ε левым по ходу углом.

т.е. дирекционный угол последующей линии равен дирекционному углу предыдущей линии плюс 180⁰ и минус угол, правый по ходу.

т.е. дирекционный угол последующей линии равен дирекционному углу предыдущей линии плюс угол, левый по ходу, и минус 180⁰.

При вычислении учитывают, что дирекционный угол не бывает больше 360⁰ и не может иметь знака минус.

3. 2. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости Прямая геодезическая задача

Сущность задачи заключается в том, чтобы по известным координатам начальной точки линии, дирекционному углу линии и ее горизонтальному проложению найти координаты конечной точки (рис.43).

Рис. 43. Решение прямой и обратной задач на плоскости

Из точек 1 и 2 опустим на ось ординат перпендикуляры 11''=х₁ и 22''=х₂, а на ось абсцисс перпендикуляры 11'=у₁ и 22'=у₂.

Через точку 1 проведем линию, параллельную оси абсцисс, до пересечения с ординатой точки 2. В образовавшемся прямоугольном треугольнике 123' катет 13' показывает, насколько абсцисса точки 2 больше абсциссы точки 1, а катет 23' – насколько ордината точки 2 больше ординаты точки 1.

Величины, показывающие, на сколько ординаты одной точки больше ординат другой, называются приращениями координат.

Приращения по оси абсцисс обозначаются символом Δх, а по оси ординат – символом Δу.

Знаки приращений зависят от величины дирекционного угла или от названия румба направления линий (таб. 7).

Таблица 7

Пользуясь формулами тригонометрии, из треугольника 123' находим:

Или, принимая во внимание соотношение между дирекционными углами и румбами, можно написать, что

Прибавляя найденные значения приращений к координатам точки 1, получим координаты точки 2

Обратная геодезическая задача

Решение обратной геодезической задачи заключается в определении по координатам начальной и конечной точек линии ее длины и дирекционного угла (рис. 43).

Из точек 1 и 2 опустим перпендикуляры на оси ординат и через точку 1 проведем прямую, параллельную оси абсцисс. В образовавшемся прямоугольном треугольнике 123' определим катеты 13' и 23'.

Видно, что катет

Искомый угол r, определяющий направление линии относительно меридиана, может быть найден из выражения

23'=13' tg r,

откуда tg r = 23' / 13' или

По знакам числителя и знаменателя правой части формулы определяют четверть, в которой находится линия 12. Зная четверть, легко определить дирекционный угол самой линии.

Вычислим теперь длину линии 12. Из того же треугольника 123' находим, что 23' = 12 sin r, или обозначив 12=d, 23' = Δу, 13' = Δх, имеем