Неопределенный интеграл

Понятие неопределенного интеграла. дифференцирование -это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или диф­ференциал. Например, если F(x) = х¹⁰, то F' (х) = 10х⁹, dF (х) =10x⁹dx.

Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находит­ся сама функция. Например, если F' (х) = 7х⁶, то F (х) == х⁷, так как (х⁷)'=7х⁶.

Дифференцируемая функция F(x), хЄ]a; b[ называется первообразной для функции f (х) на интервале ]а; Ь[, если F' (х) = f (х) для каждого хЄ]a; b[.

Так, для функции f(x) = 1/cos³ х первообразной служит функция F(x)= tg x, поскольку (tg x)'= 1/cos² х.

С овокупность всех первообразных функций f(x) на интервале ]а; b[ на­зывают неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут f (x)dx = F(x) + С. Здесь f(x)dx - подынтегральное выражение;

f (х)—подынтегральная функция; х—переменная интегрирования: С - про­извольная постоянная.

Например, 5x⁴dx = х⁵ + С, так как (х³ + С)' = 5х⁴.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла. 1.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d f(x)dx=f(x)dx.

2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функ­ции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.

d F(x)=F(x)+C.

3 .Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

аf(х)dx = a f(x)dx

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

( f₁(х) ±f₂(х))dx = f₁(х)dx ± f₂(х)dx.

Основные формулы интегрирования

( табличные интегралы).

4.

5.

6 .

7.

8.

9.

10.

11.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элемен­тарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Пример 1. Найти

Решение. Произведем подстановку 2 — Зх² = t тогда -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Далее, получаем

Пример 2. Найти

Решение. Сначала положим 2 + cos x = t; тогда -sin xdx= dt, откуда sin xdx = -dt. Далее, получаем

Пример 3. Найти

Решение. Положим 10х = t; тогда 10dx = dt, откуда dx=(1/10)dt.

Далее, получаем

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (k = 0, n= 0 — постоянные):

1.

2.

3 .

4.

5.

6.

7.

8.

Т ак, при нахождении sinl0xdx можно использовать формулу sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, где k=10.

Т огда sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется первообразной для функции f(x)?

3. Дайте определение неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

5. Каким действием можно проверить интегрирование?

6 . Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

7. Найдите интегралы: а) б) в)

г)

Ответы: 7. а) б) в)

г)