38. Усл. Выпукл. И вогнутости ф-ции. Точки перегиба. Асимптоты. Общ. Схема исслед.

Линия назыв. выпуклой, если она пересек. с любой своей секущей не более чем в 2х точ.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Необходимый признак выпук. и вогнутости: если линия на интер. выпук., то ее f``(x)<=0; если линия на интер. вогн., то ее f``(x)>=0

Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

Схема исслед. функции. Найти: - обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интер, где ф-ция явл. непр.

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет)

-периодичность; -интервалы монотонности

-точки экстремума; -наибольшее и наим. значение -выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в бесконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.

39. Первообр. функции и неопр. интеграл. Св-ва неопр. инт. Таблица неопр. интегр.

Функция F(x) наз-ся первообразной ф-ции f(x) на определенном интервале, если

F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Неопр. Интеграл- совок. всех первообр. для f(x), определенная на интерв. Х(∫f(x)dx=F(x)+c Осн. теор. интегрирования: Если ф-ция f(x), опред. на интер. x , имеет 1 первообразную F(x), то она имеет бесконечное число первообразных, все они описываются выр-ем F(x)+c, где c-const. Свойства:

1. постоянную можно вынос. за знак интег.

2. интеграл суммы равен сумме интегралов

3. произв. от инт. равна подынтегр. функции

4. интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

40. Интегрирование по частям и замена переменных в неопределённом интеграле.

Интег. по частям — один из способов нахожд. интеграла. Суть метода:: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произвед. двух непр. и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедлива следующая формула для неопределённого интеграла:

Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

дифф. dx должен быть заменен на дифф. новой переменной du. Для опред. инт., необход. также измен. пределы интегр-ния.

41. Интегр. рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.

Интегрирование рац. функций - Функция называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифм. действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов:Pn(X)/Qm(X)

Общий принцип интегр. иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

При интегрировании тригонометрических функций используется метод универсальной тригонометрической подстановки.

42. Опред. интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Осн. свойства опред. интеграла.

Определенный интеграл - это функция, производная от которой дает подынтегральную функцию. ОИ ф-ции y=f(x) на отрезке наз-ся предел инт-ых сумм.