34. Произв. Сложной функции. Логарифм. Производная. Примеры применения произв. В экономике. Произв. Высших порядков.

Производная сложной функции равна произведению произв. внешней функции на производную от внутр. функции. Произв. внутренней функции вычисляется в точке x, а произв. внешней функции - в точке u = g(x)!

Логарифм. производная — производная от натурального логарифма функции.

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложнопоказательных.

Экономический смысл – отношение скорости изменения величины у (ее производной) к самой этой величине – темп изменения у; если темп положителен – скорость изменения увеличивается, если отрицателен – скорость падает.

Если f '(x) — производная функции f (x), то произв. от нее по независимой переменной x, (f '(x))' = f ''(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го, , и т.д, n-го порядка.

35. Дифф. Функции одной переменной, его геометр. Смысл. Применения дифф. В приближённых вычислениях.

Функция одной или многих переменных F дифференцируема в точке P тогда и только тогда, когда существует «дифференциал в точке p»: линейное отображение A такое, что

Непрерывная функция y = f(x) имеет в точке x0 конечную произв. f '(x0) тогда и только тогда, когда ее график в точке (x0, f(x0) имеет касательную с угловым коэфф.

tg α = f '(x0) ( − π/2 < α < π/2).

Прибл.вычисления Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx. Откуда f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

36. Стационарные точки. Теорема Ферма Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.

Стационарная точка — точка, в которой все частные производные первого порядка рассматриваемой функции от нескольких переменных равны нулю и тем самым градиент дифференцируемой функции обращается в нуль. Любая экстремальная точка стационарная, если она находится внутри допустимой области, а не на ее границе.

Великая теорема Ферма: «для любого натур числа n>2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z»

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непр. на [a,b] и дефф-на на (a,b), то сущест.

с.т. (a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахожд.пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и беск/беск. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых усл. предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

37. Условие монот. Функций. Экстремум функции. Необходимое усл. Экстр. Диф. Функции. Наибольшее и наименьшее знач. Непр. Функции на отрезке. Дост. Усл. Экстр.

Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно возрастает. Если x₂>x₁, f(x₂)<f(x₁), то ф-ция монотонно убывает

Экстремум — макс. или миним. значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достиг. экстремум, назыв. точкой экстремума. Если достигается минимум — точка экстр. называется точкой миним., а если максимум — точкой максимума.

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min