29. Понятие функции. Область опред. И область знач. Функций. Эконом.Функции. Слож. Функции.

Функция—понятие, отражающее связь между эле-ми множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества.

Область опред. функции — мн-во, на кот. задаётся функция. Если задана функция, кот. действует из одного мно-ва в др., то мн-во, из которого действует данная функция, называется областью определения.

Область знач. функции — мн-во значений, кот. принимает ф-ия в рез-те ее применения

Пусть функция z=f(x,y) опред. в некоторой окрестности точки (x0,y0). Пусть ее аргументы x и y в свою очередь явл. функц. x = x(t) , y = y(t) и опред. в некот. окрестности точки t0 , причем x(t0) = x0 , y(t0) = y0 .

Тогда в окрестности точки t0 определена сложная функция аргумента t: z = f(x(t), y(t)).

Аналогично определяется сложные функции любого числа переменных.

30. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечат. Пределы. Односторонние пределы.

Предел функции — это знач., к которому функция в опред. смысле приближается при приближении аргумента к опред.точке.

Теорема 1. (о пред. переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают. f(x)=g(x)

Теорема 2. (о пред. переходе в неравенстве) Если знач. функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x). f(x)<g(x)

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при x→a , то и алгебр. сумма имеет предел при x→a, причем предел алгебр. суммы равен алгебр. сумме пределов

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произвед. конечного числа функций имеет предел при x→a , то и произведение имеет предел при x→a, причем предел произвед. равен произвед. пределов.

Замечательные пределы — термин, использующийся для обознач.некоторых широко известных матем. тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел

Одностор. предел— предел числ. функции, подразум. «приближение» к пред. точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним и правостор. пределомами.

Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

для левост. пределов приняты обозначения:

В том случае, если послед. {f(xn)} неогран. возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывается виде:

При переходе к функциям более сложного вида обычно сталкиваются с появл. выраж., значение которых не определено. Такие выражения назыв. неопределенностями. Раскрытие неопред. — методы вычисления пределов функций, заданных фор-ми, кот. в результате форм-ной подстановки в них предельных знач. аргумента теряют смысл.

31. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

Функция f(x) назыв. непрерывной в точке x0, если существует lim(x→x0) f(x), равный значению функции f(x) в этой точке:

lim(x → x0) f(x) = f(x0),

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разр. первого рода при x = a, если в этой точке

1. Сущ. левостор. и правостор. предел

2. Эти односторонние пределы конечны.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

32. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Функции, непр. на множестве и их свойства.

Из непрер-сти функции y = f (x) в точке x0 и функции z = g (y) в точке y = f (x0) следует непрер. сложной функции g (f (x)) в точке x0.

Все элементарные функции являются непрер. в любой точке свой области опред.

Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использ. 4 действий - сложение, вычит., умножение и деление) основных элементарных функций.

Функция F непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

Свойства 1.Сумма конечного числа непр. функций есть функция непрерывная.

2.Произведение конечного числа непрер. функций есть функция непрерывная

3.Частное от деления двух непрерывных на мн-ве функций есть функция, непр. во всех точках, в кот. знаменатель отличен от нуля.

4.Всякая непр. на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

33. Производная функции. Геометр., механ. и эконом. смысл производной. Правила дифференц. Произ. основных эл.функций.

Производная функции— основное понятие дифференц. исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Опред-тся как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную произв., назыв. диффер-мой.

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

Механ. смысл - произв. равна скорости.

Процесс вычисл. производной называется дифф-ем. Обратный процесс — интегрирование.