17. Прямоугольная система координат на плоскости. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой.

Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X`Xи Y`Y. Оси координат пересекаются в точке О , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка:

Общее уравнение прямой ax+by=c (a2+b2≠0)

18. Ур. прямой с данным угловым коэфф., проходящей через заданную точку. Ура. прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки. Ур. прямой в отрезках.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,: y - y1 = k(x - x1).

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x1, y1), которая называется центром пучка.

Ура. прямой на плоскости, проходящей через две точки имеет вид:

или:

Уравнение прямой линии, пересекающей ось ОХ в точке (а,0) и ось OY в точке (о, b)

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

19. Угол между прямыми на плоскости. Усл. парал. и перпендик. двух прямых.

Угол между пересекающимися прямыми на плоскости - градусная мера наименьшего из углов, образованных при пересечении этих прямых. Угол между совпадающими или паралл-ми прямыми считается = нулю.

Угол α между двумя прямыми, заданными уравнениями: y=k1x+b1 и y=k2x+b2, вычисл. по формуле tg(α)=(k2-k1)/(1+k1k2)

Условия параллельности двух прямых:

а ) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэфф-ом, то необход. и достаточ. условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэф-тов: k1 = k2.

б) Когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необход. и дост. условие их парал. состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны.

Условия перпендикул. двух прямых:

а) Когда прямые заданы ур-ми с угловым коэф-ом, необход. и дост. усл. их перпендик. заключ. в том, что их угловые коэф. обратны по величине и противоположны по знаку.

Расст. от точки до прямой опред-тся длиной перпен-ра, опущенного из точки на прямую.

Если прямая || плоскости проекции, то для опред расст. от точки А до прямой h необх. опустить перпенд. из точки А на h.

Прямые в пространстве могут пересекаться (тогда они лежат в одной плоскости), могут быть параллельными (тогда они также лежат в одной плоскости) или скрещиваться.

Две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда векторы M1M2 = (x1− x2, y1− y2, z1− z2 ), a1 = (l1, m1, n1) и a2 = (l2, m2, n2),

компланарны, и при этом не параллельны векторы a1 и a2.

Две прямые парал. тогда и только тогда, когда парал. векторы a1 и a2,т.е. когда сущ. число λ такое что, l1= λl2, m1= λm2, n1= λn2.

Две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда не компланарны векторы и при этом не параллельны векторы a1 и a2.

20. Кривые 2 порядка на пл-ти. Окружность.

Кривые второго порядка — кривые, которые задаются в некоторой системе координат на плоскости уравнением второй степени:

Окружн. — геом-кое место точек плоскости, равноудалённых от задан. точки, назыв. центром, на зад. ненулевое расстояние, называемое её радиусом. Окр. явл. простой плоской кривой второго порядка.

Общее уравнение окружности записывается как

21. Эллипс.

Эллипс- геометрич. место точек, для кот. сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами F1 и F2, расстояние между ними - через 2с.

ур.-е наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во: Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

22. Гипербола.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax²+Cy²=, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

Если >0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) - фокусы ее, >0, =c/a - эксцентриситет.

Св-во: а) для любой точки гип. абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если =0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0, получаем 2 перекрестные прямые х/ау/b=0

в) если <0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

23. Парабола.

М ножество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметр. отн. оси ОХ

х²=2pу-симметр. отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой  точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

24. Плоскость в прост-ве. Общее уравнение плоскости. Ур. плоскости, проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору.

Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0 , где A B C D – постоянные

Коэффициенты A,B,C явл. координатами вектора, перпендик. к плоскости, заданной уравнением. Он назыв. норм. вектором этой плоскости и опред. ориентацию плоскости в пространстве относит. системы координат.

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку вектору.

Чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать нормальный вектор плоскости и какую–нибудь точку, принадлежащую плоскости.

25. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x0, y0, z0) и вектора плоскости n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу.

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.