Свойства.

1. Опред. не меняется при транспон-вании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все эл. строки опред. умножить на некот. число k, то сам опред умножится на k.

6. Опред., содерж. 2 пропорц-ные стр. = 0

7. Опред. не меняется, если к эл-там одной из его строк прибавляются соотв-щие эл. др. строки, умноженные на одно и то же число.

5. Определители n-го порядка. Разложение определителя по строке или столбцу. Свойства определителей.

Посредством разложения по эл-там строки или столбца вычисление опр. n-го порядка приводится к вычислению n опр-лей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление орп. 5-го порядка приводится к вычислению пяти опр. 4-го порядка; вычисление каждого из этих опр. 4-го порядка можно привести к вычислению четырёх опр. 3-го порядка. Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления опр. практически применим лишь для опр-лей сравнительно небольших порядков.

Теорема о разложении опр-ля по элементам строки. Опр. матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения.

Теорема о разложении опр-ля по элементам столбца. Опр. матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

Свойства: (билет №4)

6. Экономические задачи, приводящие к системам линейных уравнений. Системы линейных уравнений, Правило Крамера.

Сист. лин. уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Решение сист. уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, ..., kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2, ..., xn дает верное числовое равенство. Решить сист. ур-ний — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто.

Метод Крамера— способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю. В таком случае система имеет единственное решение. Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

7. Обратная матрица и её построение. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Обр. матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E. ПОСТОРОЕНИЕ: Пусть А - исходная матрица, обратную к кот. мы хотим найти. n и k - кол-во строк и столбцов в ней соотвественно.

1. Проверим является ли А квадратной, т.е. совпадают ли n и k.

2. Проверим равен ли опр-ль мартицы А нулю. Если равен, то обратной матрицы не существует.

3. Создаем матрицу Inv равную единичной размерности nxn.

4. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу A к единичной. Причем, параллельно, те же самые преобразования будем производить и с матрицей Inv (переставлять и складывать те же строки/столбцы, и умножать на это же число).

5. В результате, матрица Inv - будет явл. обратной матрицей к исходной матрице A.

Матричный метод. Для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A-1, получим A-1AX= A-1B, откуда EX=X=A-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A-1 и B.

8. Ранг матрицы, метод его нахождения.

Рангом матрицы A называется наибольший из порядков миноров матрицы A , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Ранг матрицы не изменяется, если:

1. поменять местами любые два парал. ряда

2. умножить каждый элемент ряда на один и тот же не нулевой множитель

3. прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого парал. ряда, умноженные на один и тот же множитель.