53. Экстрем. Функции двух перем. Необход. И Дост. Усл. Экстр. Наиб. И наим. Значение непр. Функции.

(достат. усл. экстремума ф-ции 2-ух пере­м). Пусть ф-ция z=f(x, у): а) определена в некоторой окре­стности критической т. (х₀,y₀), вкот. f'_x (x₀ , y₀) = 0 и f'_y(x₀,y₀) = 0 б) имеет в этой т. непрерывн. частные произв-ые 2-го порядка f^//_xx(x₀,у₀)=А;f^//_xy(х₀,у₀)=f^//_yx(х₀,у₀)=В;f^//_yy(x₀,y₀)=С.

Тогда, если ∆=АС – В² >0, то в т.(х₀,у₀) ф-ция z=f(x, у) имеет экстремум, причем если А<0 — максимум, если А>0 — минимум. В случае ∆=АС—В²<0, функция z=f(x,у) экстре­мума не имеет. Если А=АС – В²=0, то вопрос о наличии экстрему­ма остается открытым.

Необх. условие экстремума:

Для того чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее произ-ная в этой точке = 0 или не сущ-ла, т.е. чтобы точка х₀ была критической.

Чтобы найти наиб. и наим. знач. функции z=f(х,у), непрерывной в огран. замкнутой области D , необходимо:

1)Найти критические точки данной ф-ции, лежащие в обл. D и вычисл. знач. ф-ции в этих точ.

2)Найти наиб. и наим. значения функции на линиях, образующих границу области.

3)Из всех полученных знач. выбрать наибольшее и наименьшее.

54. Произ. функции по напр. Градиент ф.

Производная по напр. — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Произв. по напр. показывает, насколько быстро функция изменяется при движ. вдоль задан. направл.

Произв. функции одной переменной показ., как изменяется её знач. при малом измен. аргумента. Если попытаться по аналогии опред. произв. функции многих перем., то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

С матем. точки зрения градиент — это произв. скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

Пространство, на котором опред. функция и её градиент может быть как обычным трехмерным пространством, так и простр. любой др. размерности любой физической природы или чисто абстрактным.

55. Осн. Понятия теории обыкновенных диф. Ур. Диф. Ур. 1 порядка. Ур. С раздел. Переменными.

Диф. уравнением назыв. ур. относительно неизвестной функции и ее произв-х различных порядков. Порядком диф. ур. называется порядок старшей производной, входящей в это ур. Если искомая функция зависит от одной пер-ной, то соотв. диф. урав. назыв. обыкновенным. Если искомая функция зависит от неск. переменных, то соответ. диф. урав. назыв. ур-ем с частными производными. Обыкн. диф. уравнение n-го порядка в общем виде можно записать в виде: F(x, y, y', y'',…,y⁽ⁿ⁾)=0 Где х – независ. переменная; у= у(x) – искомая функция переменной х; x, y, y', y'',…,y⁽ⁿ⁾ – ее производные; F(x, y, y', y'',…,y⁽ⁿ⁾)=0 – заданная функция своих аргументов.

Обыкн. диф. ур. первого порядка: F(x, y, y')=0

Если ур-ие вида F(х,у)dх+Q(х,у)dу=0 можно переписать как ур-ие вида f₁(х)φ₁(у)dх+ f₂(х)φ₂(у)dу=0, то оно назыв. ур-ие с разделяющимися переменными.

Исключив из рассмотрения точки, в которых φ₁(у)f₂(х)=0, тогда ур-ие примет вид:

(f₁(х)/f₂(х))dх+(φ₂(у)/φ₁(у))dу=0 .

Урав. вида у′= f₁(х)φ₂(у) также сводится к ур. с разделяющимися переменными. Для этого положим, что у′= dу/dх. Умножим обе части на dх и разделим на переменные.