4.Дисперсия дискретной случайной величины

         Можно привести пример двух дискретных случайных величин Х и Y, которые имеют различные возможные значения и при этом одинаковые математические ожидания. Рассмотрим следующие ряды распределения Х и Y: 

X	-100	100		Y	-1	1
P	0,5	0,5		P	0,5	0,5

Математические ожидания величин Х и Y равны друг другу:

M[X] = -1000,5+1000,5 = -50+50 = 0

M[Y] = -10,5+10,5 = -0,5+0,5 = 0

         Возможные значения величин Х и Y значительно отличаются. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, нельзя судить ни о ее возможных значениях, ни о рассеянии значений около математического ожидания.

         Зададимся вопросом, как можно задать величину разброса возможных значений величины. На практике эта величина чрезвычайно важна. Например, ее необходимо знать, оценивая кучность поражения мишени при стрельбе из пистолета. На первый взгляд, кажется, что необходимо проанализировать отклонение случайной величины от M[X].

         Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х – М[Х].

         Однако оказывается, что математическое ожидание отклонения случайной величины равно 0:

М[Х – М[Х]]=0.

         Действительно, М[Х – М[Х]]= М[Х] – M[М[Х]]= М[Х] – M[Х]=0.

         Это объясняется тем, что одни отклонения положительны, а другие – отрицательны. И в результате их взаимного сложения значение отклонение будет равно 0. Поэтому отклонение случайной величины нельзя использовать для оценки ее рассеяния. Для этого чаще всего вычисляют среднее значение квадрата отклонения, называемое дисперсией.

         Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D[Х] = М[(Х – М[Х])²].                                       

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения  ,  , …,   с вероятностями  ,  , …, . Используя в выражении, определение математического ожидания, получим следующую формулу для вычисления дисперсии:

D[Х] =  =

 +  +…+  .              

         Для вычисления дисперсии также можно пользоваться следующей формулой:

D[Х] = М[Х²] – (М[Х])².                                       

Раскрыв квадрат разности, получим:

 D[Х] = М[(Х – М[Х])²] = М[Х² – 2ХМ[Х]+ М[Х]²].

Учитывая, что М[Х] – это некоторое постоянное число, раскроем предыдущее равенство так: D[Х] = М[Х²]–M[2ХМ[Х]]+M[М[Х]²] = М[Х²]– 2(М[Х])² +(М[Х])²  = М[Х²] – (М[Х])².

Таким образом, D[Х] = М[Х²] – (М[Х])² =  – (М[Х])²  =   +   + … +   – (М[Х])².

Пример  Найти дисперсию случайной величины, ряд распределения которой:

X	1	3	5
P	0,2	0,5	0,3

         В примере мы подсчитали математическое ожидание этой случайной величины: М[X]=3,2. Теперь вычислим дисперсию. По определению D[X]=(1-3,2)²0,2 + (3-3,2)²0,5 + (5-3,2)²0,3 = (-2,2)²0,2 + (-0,2)²0,5 + 1,8²0,3 = 4,840,2 + 0,040,5 + 3,240,3=1,96.

         Для нахождения дисперсии можно воспользоваться и формулой (6.6):

D[X]=1²0,2+3²0,5+5²0,3–3,2²=10,2+90,5+250,3–10,24=0,2+4,5+7,5–10,24 =1,96.

         Как видно из вычислений, 2-й способ – по формуле – значительно проще.