2.Случайная величина

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто построение закона или ряда распределения представляет весьма трудоемкую задачу, либо закон распределения неизвестен вовсе. На практике иногда бывает достаточно описать случайную величину «суммарно», указав ее отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. К таким параметрам можно отнести среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего и др. Назначение таких характеристик – выразить компактно, в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения. Все эти характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины.

Так, для полной характеристики успеваемости учащегося и прогнозирования получения им оценки в будущем можно построить ряд распределения его оценок. Однако достаточно часто успеваемость характеризуется лишь одной, средней оценкой.

Числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей, поскольку, оперируя ими, можно значительно упростить ряд практических вероятностных задач и получить важные результаты. Например, в тех случаях, когда на численный результат эксперимента оказывают влияние отдельные случайные величины и их достаточно много, то закон распределения результирующей случайной величины, оказывается, не будет зависеть от законов распределения составляющих величин. В этих случаях для анализа результирующей величины необходимо лишь знать некоторые числовые характеристики отдельных случайных величин.

3.Математическое ожидание дискретной случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения  ,  , …,   с вероятностями  ,  , …, .

Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием случайной величины и обозначается М[X].

M[X] =   +  +…+  =                          

Пример1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, ряд распределения которой:

X	1	3	5
P	0,2	0,5	0,3

М[X]=10,2+30,5+50,3=0,2+1,5+1,5=3,2

Вероятностный смысл этой числовой характеристики таков: математическое ожидание случайной величины приближенно равно среднему значению случайной величины.

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина приняла   раз значение  ,   раз значение , …,   раз значение  , причем  + +…+  =n. Тогда среднее арифметическое   всех значений, принятых случайной величиной Х, вычисляется по формуле:  = .

Или  = . Заметим, что   - относительная частота значения  ,   - относительная частота значения  , …,   - относительная частота значения  . Если число испытаний n достаточно велико, то относительная частота приближенно равна вероятности появления события:   ,   , …,   . Тогда    +  +…+  . Значит,

 M[X].

         Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Равенство будет тем точнее, чем больше число испытаний.

         Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Поэтому можно сказать, что математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Такое среднее значение является «представителем» случайной величины и может замещать ее при грубых оценочных расчетах.

         Свойства математического ожидания случайной величины:

1.                Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:

М[C]=C.

2.                Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М[CХ]=CM[X].

3.                Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

М[Х+Y]=M[X]+M[Y].

4.                Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

М[ХY]=M[X]M[Y].

(Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения принимает другая величина.)

Пример2. Вычислим математическое ожидание для случайной величины из примера Подставляя возможные значения 0 и 1 и соответствующие им вероятности в формулу получаем:

M[X]=0 +1 = .

        

Вообще говоря, если мы рассмотрим случайную величину Х – число появлений события А в одном испытании, при вероятности этого события, равной p, то математическое ожидание Х равно: M[X]=0(1–p)+1p= p.

         Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

          Пример3.  Найдем математическое ожидание для случайной величины из примера 6.4, задаваемой рядом распределения:

X	0	1	2	3
P	0,064	0,288	0,432	0,216

M[X] = 00,064+10,288+20,432+30,216 = 1,8.

         Рассмотрим математическое ожидание биномиально распределенной случайной величины, например, величины, задаваемой как число появлений события А в n независимых испытаниях. Вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна p. Можно доказать следующую теорему.

Математическое ожидание M[X] числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события одинакова,  равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

M[X]=np.

         Действительно, в примере  n=3, а p=0,6 и M[X]= np=30,6=1,8.