Контрольное задание №2 Цель работы: Научиться проектировать аналоговые фильтры, настраивать и исследовать их характеристики, подготовить базу для проектирования цифровых фильтров.

Краткие теоретические сведения

Наиболее широко применяются следующие типы аналоговых фильтров низких частот (ФНЧ), отличие которых друг от друга обусловлено различным подходом к аппроксимации требуемых частотных характеристик. С целью последующей реализации фильтров предлагается задание их характеристик и процедуры проектирования в виде заведомо реализуемых соотношений.

Фильтр Баттерворта имеет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), квадрат которой определяется соотношением

,

где n- порядок фильтра, - относительная частота, - частота среза (на которой АЧХ спадает в раз). Данный ФНЧ характеризуется максимально плоской АЧХ в полосе пропускания.

Фильтр Чебышева имеет АЧХ, квадрат которой определяется соотношением

,

где - полином Чебышева первого рода n-ого порядка, вычисляемый на основе рекуррентного соотношения:

,

а  - некоторый постоянный коэффициент, задающий амплитуду пульсаций АЧХ.

Данный ФНЧ характеризуется в полосе пропускания пульсациями одинаковой амплитуды, причем, крутизна спада его АЧХ больше, чем у фильтра Баттерворта. Вне полосы пропускания АЧХ фильтра Чебышева монотонно уменьшается.

Инверсный фильтр Чебышева имеет АЧХ, квадрат которой определяется соотношением

,

Данный ФНЧ характеризуется в полосе заграждения пульсациями одинаковой амплитуды, а в полосе пропускания его АЧХ монотонно изменяется.

Фильтр Кауэра (эллиптический фильтр) имеет АЧХ, квадрат которой определяется соотношением

,

где – рациональная функция, определяемая при четных n в виде

,

а при нечетных n в виде

Дополнительно введенные постоянные параметры относительной частоты выбираются в интервале от 0 до 1 таким образом, чтобы обеспечить равноволновые пульсации АЧХ в полосе пропускания и равноволновые - в полосе заграждения.

Данный ФНЧ характеризуется, в сравнении со всеми другими типами фильтров, наиболее крутым спадом АЧХ при переходе от полосы пропускания к полосе заграждения.

Известны и другие типы фильтров. Сравнивая их между собой, следует учитывать, что фильтры, характеризующиеся более крутым спадом в переходной полосе частот, имеют обычно большее время установления выходного сигнала при скачкообразном изменении входного, т.е. затянутый во времени переходный процесс.

С целью перехода от квадрата АЧХ к передаточной функции A(p) необходимо факторизовать исходное выражение, т.е. представить его в виде , а затем использовать подстановку . Факторизацию, т.е. разложение на комплексно сопряженные сомножители четного дробно-рационального выражения АЧХ, всегда можно осуществить, например, методом неопределенных коэффициентов. В качестве передаточной функции W(р) устойчивого ФНЧ используют ту компоненту полученного произведения, которая содержит нули и полюсы в левой комплексной полуплоскости.

Фильтры низких частот являются базовыми при проектировании фильтров в других диапазонах частот. Для их расчета достаточно, в простейшем случае, задать параметры . Переход к передаточной функции этих фильтров W(p₀) осуществляется заменой переменной в передаточной функции W(р) базового ФНЧ, т.е. отображением частотных областей:

• для фильтра высоких частот (ФВЧ) ,

• для фильтра полосно-пропускающего (ФПП) ,

• для фильтра полосно-заграждающего (ФПЗ) ,

где - нижняя и верхняя граничные частоты (частоты среза).

Той же цели можно достичь путем структурного преобразования операторной схемы включения фильтров с различными граничными частотами:

W_фвч=1- W_фнч , W_фпп = W_фнч W_фвч , W_фпз= W_фнч+ W_фвч ,

т.е. ФВЧ получают, дополняя ФНЧ прямой единичной связью, ФПП получают последовательным включением ФНЧ и ФВЧ, а ФПЗ получают параллельным включением ФНЧ и ФВЧ.

Нужно иметь в виду, что результаты подобных преобразований подлежат тщательной корректировке.

Существует множество других способов синтеза аналоговых фильтров, в том числе, - по обширным справочным данным или автоматизированных в специальных и универсальных программных средах.