Властивості гідростатичного тиску.
Перша властивість гідростатичного тиску: − гідростатичний тиск завжди діє у напрямку нормалі до поверхні елемента.
В середині певного об’єму рідини розглянемо довільну точку А ,(рис. 2.2.) для того щоб сформулювати другу властивість гідростатичного тиску, Взявши точку А відділимо біля неї певний об’єм рідини у вигляді прямої призми, розташованої паралельно до площини, в основі призми закладено трикутник АВС.
рис. 2.2
Позначимо дію рідини що знаходиться поза призмою відповідними силами. Тоді призма буде знаходитися в рівновазі під дією сил: dPx : dPn ; dPz - сили гідростатичного тиску з боку рідини, що діють на бокові грані призми нормально до них: dPy – сили що діють на торцеві грані АВС призми нормально до площини, і взаємо врівноважують ; dG – об’ємна зовнішня сила. Силою dG можна знехтувати, бо вона дуже мала і є силою третього порядку, в той час як сила dP є величиною другого порядку. Підтвердженням цьому буде те що для отримання сили dG необхідно множити об’єм призми , рівний 0,5dxdydz; для отримання поверхневих сил середні гідростатичні тиски множимо на площу бокових граней, тобто на dxdy, dzdy , dldy,де dl- довжина призми.
Оскільки призма знаходиться в рівновазі , то трикутник цих сил буде замкненим і подібним трикутнику АВС. Згідно до законів подібності отримуємо: dPx /AB = dPn /BC = dPz /CA.
Розділимо всі члени цієї пропорції на довжину призми dy: dPx /dzdy = dPn /dldy = dPz /dxdy, отримаємо в знаменнику кожного із варіантів площі відповідних граней призми. Якщо розміри dx,dy,dz,dl прямують до нуля, то відповідно запишемо: рх=рn=рz=р
Розташувавши призму в другому напрямку відносно точки А ми зрозуміємо що положення про рівність тисків в одній точці можна вважати доведеним.
Таким чином :
Друга властивість – у кожній точці простору гідростатичний тиск однаковий у всіх напрямках.
Звідси робимо висновок , що гідростатичний тиск у точці залежить від просторового розташування самої точки і є функцією координат точкиx,y,z, простіше р = f(x,y,z)
Диференціальне рівняння рівноваги рідини
( рівняння Ейлера)
Помістимо в системі координат довільний об’єм рідини (рис. 2.3), у стані спокою. Виділимо точку А , що належить цьому об’єму і має координати x,y,z. Тепер побудуємо паралелепіпед з ребрамиdx, dy, dz , які паралельні відповідним вісям Оx , Оy, Оz , з вершиною в точці А
Згідно принципу Д Аламбера, сума проекцій на відповідні вісі усіх сил, діючих на паралелепіпед дорівнює нулю: - цих умов достатньо для збереження рівноваги паралелепіпеда. Сили , що діють на паралелепіпед, позначені, рівнодіючими поверхневими силами dP1 , dP2 , що діють на відповідні грані і направлені по нормалі до них . Рівнодіюча всіх масових сил , що діють на даний об’єм рідини, позначена dG. Ця сила прикладена до центра тяжіння паралелепіпеда.
рис. 2.3
Складаємо рівняння рівноваги всіх сил відносно осі Ох .З малюнка видно , що проекції сил на вісь Ох будуть дорівнювати dP1 і dP2, а сил тяжіння - dGx . Інші проекції навісь Ох будуть рівні нулю. Враховуючи напрямок діючих сил, рівняння проекцій на вісь Ох буде мати вигляд:
dP1- dP2 +dGx = 0, чи dP1 – dP2 + Xdxdydz = 0, (2, 3)
де Xdxdydz – маса паралелепіпеда, X - проекція питомих масових сил прискорення dG навісь Оx .
(
2.3)
можна записати, виражаючи різницюdP1
– dP2
як функцію координат точок простору.
Площі граней паралелепіпеда , до яких
прикладені сили dP1
і dP2
однакові і визначаються добутком сторін
dydz.
Якщо прийняти значення гідростатичного тиску на відповідних гранях паралелепіпеда рівними р1 і р2 тоді виходячи з (2,2) записуємо:
.
(2,4)
Якщо р1 = р, згідно з попередніми даними р = f(x,y,z), то тиск у інших точках паралелепіпеда буде відмінним від р. Визначаємо тиск у точці В2 у центрі правої грані з координатами (x + dx,y,z ).Вважаємо , тиск вздовж осі Оx збільшується із збільшенням координати х. Тому що координати y і z точок В1 і В2 однакові , то в точці В2 буде діяти гідростатичний тиск ;
P = p+ (дp/дx)dx.
На ліву грань діє сила тиску pdydz , а на праву :
-(p + (дp/дx)dx)dydz.
Мінус показує , що сила діє в протилежному напрямку осі і тому на рідину діють стискуючи сили з боку рідини, яка знаходиться за межами паралелепіпеда.
Підставивши у (2.4) значення р1 і р2, отримаємо :
dp1 – dp2 (p1 – p2)dydz = pdydz – (p+ дp/дx)dydz = - (дp/дx) dydz (2,5)
На підставі (2.5) умова рівноваги (2.3) набуває вигляду:
(ρX - (дp/дx))dxdydz = 0 (2.6)
Розділимо праву частину на об’єм паралелепіпеда dxdydz, отримаємо кінцевий вираз умови рівноваги відносно осі Ох
pX – (дp/дx) = 0. (2.7)
Таким чином добуваємо умови рівноваги паралелепіпеда відносно осей О і О , і отримуємо систему рівнянь Ейлера.
X - (дp/дx) = 0,
Y – (дp/дy) = 0, (2.8)
Z – (дp/дz) = 0 .
Якщо взяти окремо кожне рівняння , отримаємо характеристики розподілу гідростатичного тиску вздовж відповідної осі.
А для визначення розподілу гідростатичного тиску у площині необхідно взяти два відповідних рівняння Ейлера. Повна ж система дає визначення повного гідростатичного тиску в об’ємі рідини.