Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЛЕКЦЇ~1.DOC
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
23.87 Mб
Скачать

Властивості гідростатичного тиску.

Перша властивість гідростатичного тиску: − гідростатичний тиск завжди діє у напрямку нормалі до поверхні елемента.

В середині певного об’єму рідини розглянемо довільну точку А ,(рис. 2.2.) для того щоб сформулювати другу властивість гідростатичного тиску, Взявши точку А відділимо біля неї певний об’єм рідини у вигляді прямої призми, розташованої паралельно до площини, в основі призми закладено трикутник АВС.

рис. 2.2

Позначимо дію рідини що знаходиться поза призмою відповідними силами. Тоді призма буде знаходитися в рівновазі під дією сил: dPx : dPn ; dPz - сили гідростатичного тиску з боку рідини, що діють на бокові грані призми нормально до них: dPy – сили що діють на торцеві грані АВС призми нормально до площини, і взаємо врівноважують ; dG – об’ємна зовнішня сила. Силою dG можна знехтувати, бо вона дуже мала і є силою третього порядку, в той час як сила dP є величиною другого порядку. Підтвердженням цьому буде те що для отримання сили dG необхідно множити об’єм призми , рівний 0,5dxdydz; для отримання поверхневих сил середні гідростатичні тиски множимо на площу бокових граней, тобто на dxdy, dzdy , dldy,де dl- довжина призми.

Оскільки призма знаходиться в рівновазі , то трикутник цих сил буде замкненим і подібним трикутнику АВС. Згідно до законів подібності отримуємо: dPx /AB = dPn /BC = dPz /CA.

Розділимо всі члени цієї пропорції на довжину призми dy: dPx /dzdy = dPn /dldy = dPz /dxdy, отримаємо в знаменнику кожного із варіантів площі відповідних граней призми. Якщо розміри dx,dy,dz,dl прямують до нуля, то відповідно запишемо: рхnz

Розташувавши призму в другому напрямку відносно точки А ми зрозуміємо що положення про рівність тисків в одній точці можна вважати доведеним.

Таким чином :

Друга властивість – у кожній точці простору гідростатичний тиск однаковий у всіх напрямках.

Звідси робимо висновок , що гідростатичний тиск у точці залежить від просторового розташування самої точки і є функцією координат точкиx,y,z, простіше р = f(x,y,z)

Диференціальне рівняння рівноваги рідини

( рівняння Ейлера)

Помістимо в системі координат довільний об’єм рідини (рис. 2.3), у стані спокою. Виділимо точку А , що належить цьому об’єму і має координати x,y,z. Тепер побудуємо паралелепіпед з ребрамиdx, dy, dz , які паралельні відповідним вісям Оx , Оy, Оz , з вершиною в точці А

Згідно принципу Д Аламбера, сума проекцій на відповідні вісі усіх сил, діючих на паралелепіпед дорівнює нулю: - цих умов достатньо для збереження рівноваги паралелепіпеда. Сили , що діють на паралелепіпед, позначені, рівнодіючими поверхневими силами dP1 , dP2 , що діють на відповідні грані і направлені по нормалі до них . Рівнодіюча всіх масових сил , що діють на даний об’єм рідини, позначена dG. Ця сила прикладена до центра тяжіння паралелепіпеда.

рис. 2.3

Складаємо рівняння рівноваги всіх сил відносно осі Ох .З малюнка видно , що проекції сил на вісь Ох будуть дорівнювати dP1 і dP2, а сил тяжіння - dGx . Інші проекції навісь Ох будуть рівні нулю. Враховуючи напрямок діючих сил, рівняння проекцій на вісь Ох буде мати вигляд:

dP1- dP2 +dGx = 0, чи dP1 – dP2 + Xdxdydz = 0, (2, 3)

де Xdxdydz – маса паралелепіпеда, X - проекція питомих масових сил прискорення dG навісь Оx .

( 2.3) можна записати, виражаючи різницюdP1 – dP2 як функцію координат точок простору. Площі граней паралелепіпеда , до яких прикладені сили dP1 і dP2 однакові і визначаються добутком сторін dydz.

Якщо прийняти значення гідростатичного тиску на відповідних гранях паралелепіпеда рівними р1 і р2 тоді виходячи з (2,2) записуємо:

. (2,4)

Якщо р1 = р, згідно з попередніми даними р = f(x,y,z), то тиск у інших точках паралелепіпеда буде відмінним від р. Визначаємо тиск у точці В2 у центрі правої грані з координатами (x + dx,y,z ).Вважаємо , тиск вздовж осі Оx збільшується із збільшенням координати х. Тому що координати y і z точок В1 і В2 однакові , то в точці В2 буде діяти гідростатичний тиск ;

P = p+ (дp/дx)dx.

На ліву грань діє сила тиску pdydz , а на праву :

-(p + (дp/дx)dx)dydz.

Мінус показує , що сила діє в протилежному напрямку осі і тому на рідину діють стискуючи сили з боку рідини, яка знаходиться за межами паралелепіпеда.

Підставивши у (2.4) значення р1 і р2, отримаємо :

dp1 – dp2 (p1 – p2)dydz = pdydz – (p+ дp/дx)dydz = - (дp/дx) dydz (2,5)

На підставі (2.5) умова рівноваги (2.3) набуває вигляду:

(ρX - (дp/дx))dxdydz = 0 (2.6)

Розділимо праву частину на об’єм паралелепіпеда dxdydz, отримаємо кінцевий вираз умови рівноваги відносно осі Ох

pX – (дp/дx) = 0. (2.7)

Таким чином добуваємо умови рівноваги паралелепіпеда відносно осей О і О , і отримуємо систему рівнянь Ейлера.

X - (дp/дx) = 0,

Y – (дp/дy) = 0, (2.8)

Z – (дp/дz) = 0 .

Якщо взяти окремо кожне рівняння , отримаємо характеристики розподілу гідростатичного тиску вздовж відповідної осі.

А для визначення розподілу гідростатичного тиску у площині необхідно взяти два відповідних рівняння Ейлера. Повна ж система дає визначення повного гідростатичного тиску в об’ємі рідини.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]