Витікання через малий отвір у дні ємності.

Розглянемо задачу про витікання рідини з отвору в дні посудини. За розрахункові вибираємо перерізи І-І, на вільній поверхні рідини, ІІ-ІІ що збігається з порівняльною площею О-О, на відстані l = 0,5d_отв, у місці повного стиснення струменя. Запишемо для цих умов рівняння Бернуллі:

Приймаючи отримуємо швидкість витікання:

де - повний напір витікання, який потрібно розглядати, як питому енергію рідини у перерізі вільної поверхні відносно стисненого перерізу.

На виробництві для швидкого випорожнення ємностей створюють над вільною поверхнею рідини надлишковий тиск. У цих випадках , а швидкість переміщення вільної поверхні незначна і тоді формула (6.5) набуває такого вигляду:

Приймаючи , що становить надлишковий тиск , тоді останнє рівняння набуває вигляду:

.

Таким чином витрати рідини через малий отвір у дні ємності з тонкою стінкою пропорційні площі отвору і кореню квадратному з надлишкового напору.

Витікання рідини через затоплений отвір.

При витіканні рідини через затоплений отвір у тонкій стінці не у повітря, а в саму рідину під її рівень, струмінь буде, як і при витіканні в атмосферу, стискуватися. Тиск в ємності В і стисненому перерізі F_ст розподілятиметься за гідростатичним законом. Вважаючи рух при постійному напорі в ємності А усталеним, записуємо рівняння Бернуллі для перерізів І-І на вільній поверхні рідини ємності А і стислого перерізу струменя ІІ-ІІ, відносно порівняльної площини О-О, яка походить через центр тяжіння отвору:

де При незначній швидкості v₁ на вільній поверхні додатком , можемо знехтувати, приймаючи підставивши р₂ і перетворивши рівняння, отримуємо:

звідки:

Якщо Н₁ – Н₂ = Н – різниця рівня вільних поверхонь ємностей А і В, то:

Витрати рідини у стисненому перерізі становитимуть:

Значення коефіцієнтів і приймаємо таким, що дорівнюють відповідним коефіцієнтам при витіканні через не затоплений отвір.

Витікання з великого отвору у тонкій стінці

при усталеному напорі.

Прямокутний отвір.

При витіканні рідини через великий прямокутній отвір із сторонами a і b у вертикальній плоскій тонкій стінці, напір Н над центром тяжіння отвору підтримуємо сталим Переріз І-І співпадає з вільною поверхнею рідини, переріз ІІ-ІІ проводимо через стиснену ділянку струменя, в центрі якого проходить порівняльна площина О-О. Висота отвору по вертикалі ф = Н₂ – Н₁ співрозмірна з глибиною Н занурення центру тяжіння отвору під шар рідини, виходячи з цього змінною напору для різних шарів рідини по вертикалі отвору нехтувати не можна

.

Для визначення повних витрат Q через такий отвір краще взяти інтегральну суму елементарних витрат рідини в шарах, на різні глибини. Н₁ – буде глибина занурення під рівень верхньої кромки отвору, z – змінна глибина занурення під рівень елементарного шару з площиною перерізу df = bdz, де b – ширина отвору. dz – висота елементарного шару.

Приймемо, що коефіцієнт у всіх елементарних шарах залишається однаковим і тиск на поверхні рідини у перерізі І-І і у звуженому перерізі ІІ-ІІ постійний і рівний р₀ = р₂, тоді записуємо:

(6.7)

Про інтегрувавши вираз (6.7) у межах від Н₁ до Н₂, отримаємо:

(6.8)

Багато чисельні визначення витрат рідини через великі отвори за допомогою (6.8) показують, що отримані значення Q мало відрізняються від отриманих за формулою:

де Н_с – глибина занурення центру тяжіння отвору під рівень рідини.

Щоб визначити витрати рідини через великі отвори необхідно вибирати з довідникової літератури значення коефіцієнта рекомендовані М. Павловським.

Круглий великий отвір.

Розглянемо випадок витікання рідини із великого круглого отвору в тонкій вертикальній стінці, при постійному рівні рідини в ємності. Позначаємо радіус через r , а постійний напір над центром отвору через Н. Тоді згідно із (6.8), отримаємо Н₁ = Н – r,

Н₂ = Н + r.

Зміна ширини отвору b_z = 2r sin , змінний напір z = H – r cos , і як наслідок

dz = r sin

Ввівши нову змінну , міняємо границі інтегрування: при зміні напорів від Н₁ до Н₂ нова змінна знаходиться у межах від 0 до . Підставляємо отримані величини у рівняння (6.8):

Виносимо постійні величини із під знаку інтегралу:

(6.9)

Для спрощення позначаємо . Тому, що і , виконується умова:

Квадратний корінь, що знаходиться під інтегралом, розкладаємо в ряд:

Виходячи з умови задачі обмежуємося трьома членами цього ряду. Тоді інтеграл стає сумою трьох інтегралів:

Підставивши отримані А₁ ... А₃ до рівняння (6.9) отримуємо:

чи

Через те, що , величина не перевищує 0,03 і нею можна знехтувати, отримавши при цьому похибку, до 3%.

Врахувавши що площа отвору , отримуємо вираз для визначення витрат при витіканні рідини з великого отвору при постійному рівні рідини в ємності у такому вигляді:

де Н_с – глибина занурення центру тяжіння під рівень рідини.

Витікання рідини з отвору при змінному напорі.

Випорожнення посудини із сталою

площею поперечного перерізу.

Витікання рідини через отвір при змінному рівні відбувається при неусталеному русі. Із зміною рівня в посудині змінюється швидкість витікання, і наслідком цього явища зменшення витрат рідини. Тому для визначення часу часткового чи повного випорожнення посудини необхідно мати на увазі, що витрати через отвір відповідають певному напору, який зберігається протягом безмежно малого часу.

Для визначення часу витікання через отвір рідини від z₁ до z₂ використовують наступні положення. Вважати що рідина витікає з посудини з постійною площею перерізу F_п по висоті, через отвір у дні під початковим напором z₁ над центром отвору. Необхідно визначити час за який витече частина об’єму рідини від початкового z₁ до кінцевого z₂ рівня. Позначимо змінний рівень у посудині через z, а час зміни рівня dt через (-dz). Знак “мінус” перед dz показує, що величина z змінюється в бік зменшення. Тиск на вільній поверхні рідини р₁, а на отворі з зовнішнього боку давить р₂.

Визначаємо об’єм рідини dV , що витікає із отвору за час dt.Для безмежно малого проміжку часу можна визначити середні витрати рідини сталими і рівними Q, тобто

DV = Qdt.

Вважаючи, що у довільний проміжок часу рівень рідини в посудині становитиме z, тоді у відповідності з (6.5) знайдемо об’єм:

Ту ж саму кількість рідини dV визначають із залежності: dV = - F_пdz, вважаючи, що за час dt рівень рідини у посудині зменшиться на dz .

Записуємо рівняння, виходячи з того, що ліві сторони обох рівнянь теж рівні між собою. Тоді виходить:

звідки:

Час витікання рідини через отвір при зміні рівня в посудині від z₁ до z₂ визначається інтервалом:

(6.10)

У рівнянні (6.10) величина F_п знаходиться поза інтегралом у наслідок того, що переріз посудини не змінюється по висоті.

Якщо посудина відкрита і виливання відбувається в атмосферу, чи в інших випадках коли р₁ = р₂, то рівняння (6.10) набуває вигляду:

(6.11)

Час повного випорожнення посудини визначається з умови z₂ = 0 , z₁ = H, тоді:

,

де H – початковий рівень рідини у посудині.

Помноживши знаменник і чисельник на змінимо вигляд отриманої формули:

де V - початковий об’єм рідини у посудині, Q_max – максимальні витрати рідини через отвір, які відповідають початковому напору Н.

З вище сказаного виходить, що час випорожнення ємності вдвічі більший часу випорожнення такої ж посудини під постійним напором Н.

Перетікання з ємності в ємність

під змінний рівень.

У практиці трапляються випадки, коли перетікання відбувається не в атмосферу, а з однієї ємності в іншу вертикальну ємність, під рівень рідини. Тоді за час dt в посудині А рівень рідини зменшується на величину dz₁, а в ємності В зростає на величину dz₂. Зміна рівнів рідини за певний проміжок часу, чи зміна напору складатиме:

dz = dz₁ – dz₂ (6.12)

при цьому кількість рідини, що переливається з ємності в ємність становитиме:

(6.13)

Оскільки зміна об’єму рідини у кожній ємності викликана перетіканням рідини через отвір із ємності А в В, то цю зміну можна подати, як:

dV= -F_єм,Аdz₁ = F_єм,Вdz₂. (6.14)

Враховуючи (6.13) :

Тоді при зміні часу від 0 до t діючий напір зміниться від z₁ до z₂, тобто:

(6.15)

Із (6.14) і (6.15) виходить, що:

Підставляючи отримане значення до (6.12) отримаємо:

звідки:

(6.16)

Підставляємо (6.16) у (6.15) і про інтегруємо, змінивши у правій частині межі інтегрування та знак, отримаємо час за який змінюється рівень рідини в ємності від z₁ до z₂.

Час повного вирівнювання висот у посудинах (dz = 0) буде:

У окремих випадках, менша ємність може наповнюватись із значно більшої (F_єм.А >> F_єм.В) з практично незмінним рівнем рідини, тоді час наповнення становитиме:

І навпаки, при витіканні рідини із значно меншої ємності у значно більшу (F_єм.А << F_єм.В) тоді час повного випорожнення становитиме:

Отримані рівняння дозволяють виконувати розрахунки при відомих значеннях коефіцієнтів витрат.

Витікання рідини із горизонтальної циліндричної ємності.

Тепер розглянемо витікання рідини через отвір, у нижній частині горизонтальної циліндричної ємності. Такими є залізничні автомобільні цистерни для транспортування рідких речовин. Витікання з таких ємностей відбувається тільки за рахунок тиску стовпа рідини z, коли ємність відкрита і р₁ = р₂; чи під тиском коли, до вертикальної частини ємності підводиться надлишковий тиск повітря чи іншого газу.

Розглянемо випадок, коли р₁ = р₂ , Для виконання цих умов перепишемо рівняння (6.15), змінивши границі інтегрування:

(6.17)

При інтегруванні цього рівняння площу горизонтального перерізу ємності F_ємне можна виносити за знак інтегралу, бо F_єм = F_єм(z) є величина змінна. Для інтегрування виразу (6.17) необхідно попередньо виразити F_єм через z. Врахувавши те, що циліндрична ємність знаходиться у горизонтальному положенні, знаходимо, що при будь якому рівні z площина F_єм = lx. Завернувшись до теореми Піфагора (X/2)²+(z – r)² = r², звідки:

Згідно з отриманим рівнянням:

(6.18)

Залежність (6.17) врахувавши площу ємності з рівняння (6.18) записуємо далі, пам’ятаючи при цьому, що dz = - d (D – z):

(6.19)

Це залежність для визначення часу часткового випорожнення ємності при зменшенні рівня від z₁ до z₂. При повному випорожненні ємності від z₁ = D до z₂ = 0, формула (6.19) набуває вигляду:

(6.20)

Помножимо чисельник і знаменник отриманого виразу на і перетворимо його, тоді отримаємо:

(6.21)

де - повний об’єм горизонтальної ємності,

- максимальні початкові витрати рідини через отвір у нижній частині ємності за час t₁, коли наявний напір над отвором z₁ = D.

З рівняння (6.21) виходить, що час повного випорожнення циліндричної ємності в 1,7 рази більший за час, що необхідний для витікання такої самої кількості рідини через такий самий отвір при постійному рівні z₁ = D.

У випадку створення у ємності надлишкового тиску р₁ на поверхні рідини (p₁ > p₂) величина (p₁ – p₀)/ . Щоб врахувати дію надлишкового тиску на випорожнення ємності, необхідно у правій частині (6.19) і (6.20) до величини, що виражає геометричний напір, додати п'єзометричний напір Тоді час часткового випорожнення ємності від рівня z₁ до z₂ визначатиметься залежністю:

а час повного випорожнення ємності складатиме:

Тобто отримані формули враховують надлишковий тиск.