V. Уравнения, приводящиеся к квадратным.

Запомним фразу: если некоторое выражение повторяется несколько раз, то заменим его другой переменной.

1. Биквадратное уравнение: ax⁴+bx²+c=0

Заменим x² переменной t, причем t ≥0. Получим квадратное уравнение at²+bt+c=0

Решив которое, найдем корни t₁ и t₂ (принадлежат ли ОДЗ?) и следовательно x₁, x₂, x₃, x₄ (если t₁≥0 и t₂≥0)

Пример: x⁴+ 4x²-32=0

Пусть x² = t, где t≥0

Получим: t²+4t-32=0

T₁=-8 ОДЗ; t₂=4 ОДЗ

x²=4=> x_{1, 2}= ±2

2) ( )²-4( ) -5=0 ОДЗ: x≠0

пусть = t. Тогда t²-4t-5=0

Откуда t₁=5 или t₂= -1

Следовательно = 5 или = -1

x -2 =5 x x -2= - x

-4x = 2 2x =2

x= - ОДЗ x =1 ОДЗ

Ответ: - ; 1.

VI. Уравнения, содержащие модуль.

Чтобы решить уравнение , содержащие модуль,нужно:

1)все подмодульные выражения приравнять к 0;

2)найти корни этих уравнений;

3)нанести их на ось;

4)определить знак каждого подмодульного выражения на каждом промежутке;

5)решить данное уравнение на каждом промежутке;

6)выяснить, принадлежат ли корни данным промежуткам;

7)выписать ответ.

Пример:

Решить уравнение: - =

Решение.

1)все подмодульные выражения приравнять к 0; =0 =0 =0

2)найти корни этих уравнений; x =1,5 x = - 1 x = 3

3 )нанести их на ось;

-1 1,5 3

4)определить знак каждого подмодульного выражения на каждом промежутке;

a)(- ; -1] Выберем х = - 2

< 0; < 0; < 0;

= ; = -x – 1; = - x + 3

b)[ -1; 1,5] Выберем х =0

< 0; > 0; < 0;

= ; = x + 1; = - x + 3

c)[ 1,5; 3] Выберем х =4

0; > 0; > 0;

= ; = x + 1; = x – 3

5)решить данное уравнение на каждом промежутке;

a)(- ; -1]

Уравнение будет иметь вид: ( ) – (-x – 1) = - x + 3

0 = -1 Решений нет

b)[ -1; 1,5]

Уравнение будет иметь вид: ( ) – (x + 1) = - x + 3

-2 =1, = - 0,5

c)[ 1,5; 3]

Уравнение будет иметь вид: ( ) – (x + 1) = x – 3

0 = 1 Решений нет

6)выяснить, принадлежат ли корни данным промежуткам;

- 0,5 [ -1; 1,5], значит является корнем;

7)выписать ответ.

Ответ: - 0,5

Решить самостоятельно следующие уравнения:

2x-5=7

3-2x=4

=0

=0

=0

3

Найти сумму корней уравнения: x – 4x² = 0

Составить уравнение с корнями -2 ;

1. Х⁶-4х³+3=0

2. =2(4х+11)

3. x-4 +3=0

4. 4 = 12

5. 1 = 1 1

6. 12 – 2,5 (3х-5)= (3 – 10х)

7. – = 4-х

8. (3x - 1)² - 8(x+1)² = (x+2)(x -2)

9. 3x² + x – 30 = 0

10. = +

11. = 2

12. = x

13. – = 1

14. (x² – 2x - 1) = 0

15. = 0

16. 2y⁴ – 5y² + 2 = 0

17. 9 – x =

18. 

19. (x + 3)³ – (x + 1)³ = 2.

20. x³ = x² – 2x.

21. x³ + 1 = – x – 1.

22. | x – 1 | = 2x..

23.  – x = 1.

24. +   = .

25. Пусть x₁ и x₂ корни уравнения x² – 5x + 3 = 0. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны x₂ – x₁ и x₁ – x₂.

Тема 5.2. Системы уравнений и неравенств.

Самостоятельная работа №17 (4 часа)

Цель: Выработать навык решения систем уравнений.

Способы решения систем уравнений.

1. Способ подстановки.

Из одного уравнения выражаем одно неизвестное и подставляем в другое уравнение. Решаем его. Находим одно неизвестное, а затем и второе, используя подстановку.

Пример:

Из первого уравнения выражаем одно неизвестное х. х=4-2у

Подставляем в другое уравнение 4-2у

Решая последнее уравнение, получим 7у=19, откуда у= .

Используя подстановку, подставляя вместо у , получим х=4- =-1

Ответ: (-1 )

2. Способ сложения.

Складываем два уравнения, избавляясь от одного неизвестного.

Пример:

Складывая два уравнения, получим = 18, откуда х=3.

Подставляем вместо х число3 в другое уравнение и получим у=2.

Ответ: (3 )

3. Способ графический.

Строим графики соответствующих функций и находим точки пересечения. Ответ записываем в виде координат точки.

4. Решение систем уравнений способом Гаусса.

Чаще всего количество уравнений и неизвестных 3; 4; ... . Такие системы можно решать теми же методами, что и системы двух уравнений с двумя переменными, то есть, подстановкой или алгебраическим сложением, но существует метод наиболее рационального их решения, который называется методом Гаусса. Его отдельное достоинство состоит в том, что он легко программируется, что важно для решения систем с большим количеством уравнений и переменных.

Примеры:1) Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему: Обнулим коэффициенты при x во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на и 1 соответственно и сложим с первой строкой: Теперь обнулим коэффициент при y в третьей строке, домножив вторую строку на 6 и вычитая из неё третью: В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: z=-1из третьего;

y=3 из второго, подставив полученное z

x=2 из первого, подставив полученные z и y.

Таким образом исходная система решена.

2)    Ответ: (1; 2; 3).