Тема 5.1. Линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные уравнения и неравенства
Самостоятельная работа №16 (6 часов)
Цель: Выработать навык решения линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных уравнений.
Уравнение с одним неизвестным x- это любое равенство вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x)-некоторые функции. f(x)- левая часть, g(x)- правая часть. Число a называется корнем уравнения с неизвестным x , если при подстановке а вместо x в обе части уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение- значит найти все решения этого уравнения.
Геометрически корни уравнения с неизвестным x - это точки пересечения с осью ОХ.
Два уравнения называются равносильными, если у них одно и то же множество решений и область определения.
Правила преобразования уравнений:
f(x)=g(x) f(x)-g(x)=0
f(x)=g(x) => к f(x) = к g(x)
если f(x) · g(x)= 0, то f(x)= 0 или g(x)= 0 (Произведение равно 0, если один из множителей равен 0, а второй при этом не теряет смысла).
f (x)= g(x) => fn (x)= g n (x) для любого nЄN, но если f n (x) = g n (x), то f(x)≠g(x). Например: x2=(x-2)2 ≠> x = x-2
корни: x=1 корней нет
Поэтому при четвертом преобразовании могут получиться посторонние корни. Таким образом, если мы применяем одно из этих преобразований, то надо или делать проверку или находить область определения уравнения (или область допустимых значений – ОДЗ )
Виды уравнений:
I. Линейные:
1)
ax+
b=
c
=> ax
= c-b
=> x
=
2)
a· x= b=> x =
3) a+ x = b => x= b-a
4) x – a = b => x= b+ a
5) a-x = b => x= a-b
6)
= b => x= a · b
7)
= b => x=
II. Квадратные:
полное квадратное уравнение a·x2 + b·x+ c = 0 (a≠0)
D= b2- 4ac - дискриминант.
x
1, 2 =
Если D>0, то уравнение имеет 2 различных корня на множестве действительных чисел.
Если D=0, то уравнение имеет 2 равных корня на множестве действительных чисел.
Если D<0, то уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
если b- четное число, то:
=
(-
)
2
- ac,
x
1,2=
уравнение x2+ px+ q= 0- приведенное квадратное уравнение.
Неполные квадратные уравнения:
a x2 + bx= 0 ax2+ c= 0
x(ax+ b) = 0 ax2= -c
x
1=0
или ax+
b=0
=> x
2=
-
x2=
-
, (где -
≥ 0) => x
1,2=
5) Теорема Виета:
a x2+ bx+ c= 0 x2+ px+ q= 0
x1+ x2= - x1+ x2= - p
x1x2 = x1x2= q
III. Дробно – рациональные уравнения.
=
0, где P(x)
и Q(x)
- многочлены. Дробь равна 0, если числитель
равен 0, а знаменатель не равен 0, т.е.
P(x)
= 0, Q(x)
≠ 0
Пример:
=
ОДЗ: 3-x≠0
=> x≠3
2x+1≠0
=> x≠-
-
3 x
Є (-∞; -
) U
(-
;
3) U
(3 ;+∞)
I способ II способ
Перенесем все в левую часть - = 0 По свойству пропорции:
(x+1)(2x+1) = (3-x)(2-x)
Приведем к общему знаменателю:
=
0 Откуда:
=
0 x2+
8x-5=
0
откуда:
x2+
8x-5
= 0, т.к. ОДЗ найдена, x
1,2
= - 4 ±
(см.
1-й способ)
D = (-4)2 -1·(-5)= 16+ 5=21
x1 = - 4+ Є ОДЗ
x2 = - 4- Є ОДЗ
Ответ: -4+ ; - 4 - ;
Если вы не нашли ОДЗ, то нужно сделать проверку, подставив полученные корни в данное уравнение
IV. Иррациональные уравнения - если неизвестное содержится под корнем.
Для их решения нужно обе части уравнения возвести в соответствующую корню степень.
Такое преобразование может привести к появлению посторонних корней (при возведении в четную степень), поэтому обязательно находим ОДЗ или делаем проверку.
Примеры:
1)
= 4 ОДЗ: x-3≥0
=> x
≥ 3 => xЄ[3;+
)
Возведем обе части в квадрат.
( )2= 42; x-3= 16 ; x= 19 Є ОДЗ
Ответ: x= 19
2)
=
9-x
ОДЗ:
т.к.
арифметический корень всегда неотрицателен.
=>
xЄ
[-3; 9]
-3 9
Возведем обе части уравнения в квадрат используя формулу (a±b)2=a2±2ab+ b2
( ) 2= (9-x) 2
x + 3= 81-18x+ x2
x 2-19x+ 78= 0
x 1 = 13 не Є ОДЗ ; x2 = 6 Є ОДЗ
Ответ: 6
3)
+
=
7 О
ДЗ:
=>
=>
-5 -4 x Є [-4;+ )
( + )2 = 72
по формуле (a± b)2 получим :
2 +2 + 2= 49
x+5+
2
+2x+8=
49
Уединим корень: 2 = 36-3x ОДЗ:36-3x ≥ 0 => x≤12
-4
12 x
[-4;12]
4(2x2 +18x+40)= 362-2·36·3x+9x2
Решая это квадратное уравнение, получим корни: x 1 = 284 не Є ОДЗ ; x2 = 4 Є ОДЗ
Ответ: x=4