2.2. Классы чисел

Как мы знаем, все числа разделены на четыре класса:

натуральные числа – множество N,

целые числа – множество Z,

рациональные числа – множество Q,

вещественные числа – множество R.

При этом имеет место такая цепочка включений одного множества в другое:

NZQR.

Вещественные числа. Из перечисленных классов это самый широкий класс чисел. Например, с глубокой древности известно число , которое выражает отношение длины окружности к ее диаметру. Еще одно широко известное в математике вещественное число e – основание натуральных логарифмов.

Вещественные (действительные) числа образуют сплошной массив точек на числовой прямой. Расстояние между числами (точками на прямой) бесконечно мало. Поэтому каждое вещественное число должно было бы представлять записью с бесконечно длинной дробной частью.

Любая арифметическая операция над вещественными операндами имеет результатом вещественное же число. Говорят, что класс вещественных чисел замкнут относительно всех арифметических операций.

Укажем на такой математический феномен. Бесконечная цепь девяток в записи числа, начинающаяся с разряда номер k, равна единице в соседнем старшем разряде номер k1:

0.00000099990.0000010000 (k7, k16),

09999999.99910000000.000 (k6, k17).

Действительно, записи из бесконечной цепочки девяток отвечает сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 10^-1:

9_k9_k-19_k-29_k10^k9^k-110^k-19_k-210^k-2

 10^k+11_k+110^k+1.

Рациональные числа. На практике работать с вещественными числами невозможно хотя бы потому, что для записи чисел отводится ограниченное место. Числа, записи которых имеют конечную длину, образуют класс рациональных чисел. И этот класс чисел тоже замкнут относительно всех арифметических операций.

В общем случае рациональное число A изображается такой записью:

Aa_na_n-1a₀.a_-1a_-2a_-ka_-k-1a_-k-2a_{-m .}

Здесь a_na_n-1a₀ – целая часть числа, a_-1a_-2a_-ka_-k-1a_-k-2a_-m – его дробная часть. Как видим, все разряды записи числа (и дробной части тоже) пронумерованы по степеням десятки (разряд номер (1) имеет вес 10^-1, разряд номер (2) – вес 10^-2 и т.д.). Обычно целая часть числа отделяется от его дробной части запятой. В компьютерной математике (с которой мы будем иметь дело на практике) разделителем является десятичная точка. Этим разделителем мы и пользуемся.

На числовой прямой рациональные числа представлены точками, которые разделены расстоянием в 10^-m, где m – номер младшего разряда в записи чисел. Другими словами, расстояние между двумя соседними рациональными числами на числовой оси равно 110^m, а именно, единице младшего разряда в из записях.

Бесконечные записи вещественных чисел, да и просто длинные записи рациональных чисел приходится укорачивать. Делается это по правилу округления десятичных дробей. Сформулируем это правило.

Пусть m-разрядную десятичную дробь

A0.a_-1a_-2a_-k a_-k-1a_-k-2a_-m (2.2)

требуется округлить до k разрядов после точки.

Самое простое – это отбросить содержимое лишних младших разрядов (в записи (2.2) они залиты серым цветом):

AA_усеч0.a_-1a_-2a_-k .

Однако просто не всегда хорошо. В худшем случае во всех отброшенных разрядах могут оказаться девятки:

A_maxa_-k-1a_-k-2a_-m9_-k-19_-k-29_-m10^-k1_-k10^-k .

Значит, этот способ округления характеризуется такой максимальной абсолютной погрешностью

A_max1_-k10^-k0.0_-10_-21_-k

(говорят, что A_max равна единице младшего из оставшихся разрядов в записи числа A_усеч).

Для уменьшения погрешности округления действуют так: отбрасывают содержимое лишних младших разрядов и анализируют значение первой из отброшенных цифр a_-k-1a_-k-2a_-m.

Если a_-k-15 (первая из отброшенных цифр меньше пяти), то

AA_окрA_усеч0.a_-1a_-2a_-k.

Если же a_-k-15 (первая из отброшенных цифр больше четырех), то

AAокр 	0.a-1a-2a-k	Aусеч
	0.0-10-21-k

(к A_усеч прибавляют единицу младшего разряда).

Максимальная абсолютная погрешность такого округления вдвое меньше и составляет половину единицы младшего числа A_окр:

A_max4_-k-19_-k-29_-m10^-k5_-k-10_-k-20_-m0.510^-k ,

На практике применяют именно этот алгоритм округления десятичных дробей. Округлим для примера число e сначала до пяти знаков после запятой, затем до двух, до одного, а потом и до целых:

2.718281828459045…2.718282.722.73.

Точно так округляют и большие числа. Например, число

B4281698074₈2₇8₆1₅6₄9₃8₂0₁7₀

округлим до двух старших цифр:

B4300000000.

Зачастую в одном наборе данных собраны числа, существенно различающиеся по абсолютной величине. В этих случаях удобно бывает каждое число A представлять в стандартной форме, а именно, в виде произведения мантиссы M_A и масштабного множителя (здесь P_A – порядок числа A):

AM_A .

При этом 1M_A9, то есть целая часть мантиссы занимает один разряд и в этом разряде записан не нуль. Запишем, к примеру, числа 234507 и 0.01385462 в стандартной форме с мантиссой, округленной до двух разрядов после точки:

2345072.3450710⁵2.3510⁵,

0.013854621.38546210^-21.3910^-2.

Стандартная форма записи чисел удобна для выполнения операций умножения и деления. Мантисса произведения (частного) вычисляется путем умножения (деления) мантисс исходных чисел, а порядок результата вычисляют путем сложения (вычитания) их порядков. Например,

2345070,013854622.3510⁵1.3910^-23.2710³.

0.01385462234507(1.3910^-2)(2.3510⁵)0.59110^-7.

При необходимости результат приводится к стандартной форме. Так, в последнем примере

0.59110^-75.9110^-8.

Отметим, что для выполнения операций сложения и вычитания числа в стандартной форме должны быть преобразованы к обычному виду. А результаты этих операций снова преобразуются к стандартной форме.

Натуральные и целые числа. Натуральные числа – один, два, три и т.д. используют для счета предметов и для обозначения их количества. Например, двести сорок пять студентов первого курса РАП, тридцать четвертая страница учебника по математике. В практике вычислений, как мы уже отметили, оперируют не с самими предметами в заданном количестве (студентами, страницами), а с записями соответствующих чисел (245, 24).

Над натуральными числами можно выполнять все арифметические операции. Однако эти операции неравноценны. Результаты операций сложения и умножения натуральных чисел оказываются тоже натуральными. При этом результат не зависит от порядка слагаемых и сомножителей. Что касается операции вычитания натуральных чисел, то здесь ситуация такая. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность – число натуральное: 532. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность уже не натуральное число: 352. Это число отрицательное. Числа 2 и 2 называют противоположными. Очевидно, что каждое натуральное число имеет противоположное отрицательное. Число, противоположное отрицательному, называют положительным. Запись положительного числа начинают знаком плюс . Запись отрицательного числа начинают знаком минус . Между противоположными числами 1 и 1 стоит число 0 (нуль), которое противоположного не имеет. Нуль предметов означает, что таких предметов нет (например, количество неудовлетворительных оценок на экзамене по математике). Число нуль относят к положительным, хотя знаком  обычно не снабжают. Остальные положительные числа тоже чаще всего записывают без знака  .

Отрицательные и положительные числа в совокупности образуют множество целых чисел. На числовой прямой целые числа представлены точками, которые разделены отрезками длиною в 1. Между этими точками целых чисел нет.

На множестве целых чисел устраняется недостаток операции вычитания натуральных чисел. Результатом вычитания целых чисел будет целое число. А вот операция деления целых чисел не всегда дает целое число.

Таким образом, класс натуральных чисел замкнут только относительно операций сложения и умножения, класс целых чисел замкнут относительно операций сложения, вычитания и умножения.

Опишем еще одну операцию над целыми числами.

Пусть A и M – два произвольных целых положительных числа, причем M1. Тогда A можно представить такой суммой:

AMD(A)_{mod M},

где (A)_{mod M} – остаток от деления A на M нацело (то есть D – тоже целое, оно показывает, сколько раз M укладывается в A),

0(A)_{mod M}M1.

Говорят, что найти (A)_{mod M} значит представить число A по модулю M:

(A)_{mod M}AMD.

Например, M{20 ,31}, A{120, 155, 13}.

(120)_{mod 31}27, (155) _{mod 31}0, (13)_{mod 31}13,

(120)_{mod 20}0, (155) _{mod 20}15, (13)_{mod 20}13.

Ради интереса отметим, что (A)_{mod 10} есть младшая цифра в записи A. В самом деле, остаток от деления любого A на 10 всегда меньше десяти, а значит, равен тому элементу множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, который и стоит в младшем разряде А.