Глава 2. Числа

2.1. Системы счисления

Число – древнейшее из математических понятий. Оно родилось в ответ на нужды практической, хозяйственной деятельности человека. Началось все с натуральных чисел, которые появились в связи с необходимостью подсчитывать отдельные предметы (скот, рабов, воинов и др.). Торговля, прибыль и долги привели к использованию целых чисел (положительных и отрицательных). Дальнейшее усложнение производства, необходимость измерять и вычислять длины отрезков прямых, площади прямоугольников и кругов породили рациональные и вещественные числа.

Выдающимся мыслительным актом, началом абстрактного мышления было отделение числа от предмета счета, когда в вычислениях стали оперировать только с самими числами. А это потребовало умения записывать числа.

Совокупность приемов и правил, устанавливающих взаимно однозначное соответствие между числом и его записью, называют системой счисления (нумерацией).

К примеру, на рис. 2.1. для одного и того же числа тринадцать приведены записи в римской, десятичной и двоичной нумерациях.

Сегодня практически повсеместно применяют десятичную позиционную систему счисления. Слово десятичная означает, что счет предметов ведут десятками, а число десять называют основанием системы счисления. В десятичной системе счисления для записи чисел применяют десять арабских цифр {0,1,...,9}. Смысл слова позиционная поясним примером. Записи 333 отвечает число, заданное такой суммой:

310²310¹310⁰.

Как видим, в записи использована одна цифра 3. Но ее вес (множитель при степени десятки в сумме) зависит от места, которое эта цифра занимает в записи числа. Самая левая цифра весит 10²100, а самая правая тройка имеет вес 10⁰1. Нередко пишут, что

310²310¹310⁰333,

то есть отождествляют число с его записью. Это связано с тем, что на практике, как было сказано выше, чаще оперируют не с самими числами, а с их записями.

Итак, каждое число представляют суммой степеней десятки, коэффициентом у каждой степени будет та или иная из десятичных цифр. А запись числа получают, выписав подряд коэффициенты суммы. Позиция, которую занимает цифра в записи числа, называется разрядом. Для того чтобы подчеркнуть свойство позиционности удобно пронумеровать разряды в записи числа в соответствии со степенями основания системы счисления: 3₂3₁3₀. Разряды с номерами (весами), большими, чем у данного, называются старшими по отношению к нему, а разряды, номера (веса) которых меньше чем у данного, называются младшими.

Причина столь широкого распространения десятичной системы счисления отнюдь не математического свойства. Десять пальцев рук – вот природный инструмент счета, которым человек пользуется с древнейших времен. История знает и другие, отличные от десятичной системы счисления. Индейцы Северной Америки считали двадцатками, используя пальцы и рук, и ног. Англичане до сих пор сопротивляются введению метрической системы мер, у них двенадцать дюймов составляют один фут. В этом случае счет ведется дюжинами помощью фаланг четырех пальцев руки (без большого пальца).

В компьютерах числа представляются в двоичной системе счисления (компьютер считает двойками). Здесь основание системы счисления – два, цифры для записи двоичных чисел {0,1}. Однако лет за двести пятьдесят до появления первых компьютеров Лейбниц (юрист, как мы знаем) показал возможность записывать любое число символами 0 и 1. Он был активным пропагандистом двоичной системы счисления как самой простой и согласованной с алгеброй логики, там значение высказывания обозначают или 0 (ложь), или 1 (истина).

В двоичной системе счисления каждое число представляют суммой степеней двойки, коэффициентом у каждой степени будет или 0, или 1. Запишем, к примеру, десятичное число 333 в двоичной системе счисления:

33312⁸02⁷12⁶02⁵02⁴12³12²02¹12⁰

1₈0₇1₆0₅0₄1₃1₂0₁1₀ .

Опишем такую процедуру преобразования 102, когда не нужно формировать сумму степеней двойки.

Сначала составим таблицу первых степеней двойки (табл. 2.1, колонки n и 2ⁿ).

В общем случае десятичное число A представляется такой двоичной записью:

Aa_na_n-1a_ia_i-1a₁a₀ , (2.1)

Таблица 2.1
2n	n	n(2)	n(16)
1	0	0000	0
2	1	0001	1
4	2	0010	2
8	3	0011	3
16	4	0100	4
32	5	0101	5
64	6	0110	6
128	7	0111	7
256	8	1000	8
512	9	1001	9
1024	10	1010	A
2048	11	1011	B
4096	12	1100	C
8192	13	1101	D
16384	14	1110	E
32768	15	1111	F

где a_k{0,1}, k .

Преобразование 102.

• Начинаем с того, что с помощью табл. 2.1 для заданного A находим такое n, когда выполняются условия: 2ⁿA2ⁿ⁺¹. Так мы фиксируем номер n старшего разряда в искомой двоичной записи (2.1), а значит, и старшую цифру этой записи a_n1_n.

• Вычтем из A число 2ⁿ, которое отвечает полученной единице 1_n. Эту разность снова обозначим как A. Для этого нового A проверяем, содержится ли в нем число 2^n-1. Если число 2^n-1 входит в A, то a_n-11_n-1, в противном случае a_n-10_n-1. Так получим цифру в разряде номер n1 искомой записи.

• Если a_n-11_n-1, то вычитаем из A число 2^n-1, разность снова обозначим как А и переходим к разряду номер n2. Если же a_n-10_n-1, то к разряду номер n2 переходим без вычитания 2^n-1 из A.

• Повторяем описанные действия до тех пор, пока не найдем цифру a₀.

Таблица 2.2
A	188		17	06	15	14	13	12	01	00
	128
A	60
	32
A	28
	16
A	12

Найдем, для примера, двоичное изображение для десятичного числа A188.

Пользуясь табл. 2.1, действуем в соответствии с описанием процедуры преобразования 102. Решение показано в табл. 2.2.

Отметим попутно, что после того, как записана цифра a₄ (у нас это 1₄), а очередной остаток A15 (у нас это A12) остальные четыре цифры a₃a₂a₁a₀ искомой записи получим из колонки n₍₂₎ табл. 2.1 как четырехразрядное двоичное изображение последнего остатка A12. В нашем случае это комбинация 1₃1₂0₁0₀.

Преобразование 210. Это преобразование выполняют так. Нумеруют, начиная с нуля, разряды двоичной записи справа налево, а потом записывают полином степеней двойки, сумма которого и будет десятичным эквивалентом заданного двоичного числа. Например,

10101011₆0₅1₄0₃1₂0₁1₀

1₆2⁶0₅2⁵1₄2⁴0₃2³1₂2²0₁2¹1₀2⁰85.

Двоичные записи даже не очень больших чисел слишком длинные. В документации по компьютерам вместо длинных двоичных записей применяют шестнадцатеричные, которые оказываются вчетверо короче. В колонке n₍₁₆₎ табл. 2.1 приведены цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Преобразования 216. Эта процедура никаких вычислений не требует и выполняется так. Убирают, если это нужно, нумерацию разрядов двоичной записи. Потом, двигаясь справа налево, разбивают двоичную запись на группы по четыре разряда в группе. Самую левую группу при необходимости дополняют нулями до четырех разрядов. Далее каждую четверку двоичных цифр заменяют одной шестнадцатеричной (см. две правые колонки табл. 2.1). Например,

1₈1₇1₆0₅1₄0₃1₂0₁1₀0001110101011D5.

Преобразование 162. А это преобразование выполняют в обратном порядке: каждую шестнадцатеричную цифру заменяют четверкой двоичных:

F721111 0111 0010.

Преобразование 1610. Для того чтобы узнать, что скрывается за шестнадцатеричной записью, выполняют преобразование 1610. Для этого сначала нумеруют разряды шестнадцатеричной записи, начиная с нулевого правого. А потом записывают и вычисляют соответствующую сумму степеней шестнадцати, в которой коэффициентами у степеней шестнадцати будут десятичные эквиваленты шестнадцатеричных цифр:

1D51₂D₁5₀1₂16²1316¹516⁰469.

Позиционные системы счисления обладают тем существенным достоинством, что в них весьма просто выполнять арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение выполняются столбиком, путем поразрядных действий над цифрами в записях чисел. Деление выполняется углом, но каждую цифру частного получают опять-таки путем поразрядных операций над остатками. То или иное применение находят и непозиционные системы счисления. Классическим примером непозиционной системы считается римская нумерация. В ней значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Так, число 333 в римской системе счисления задается записью CCCXXXIII. Здесь цифра C весит 100, где бы она ни стояла, и правила выполнения поразрядных операций здесь не действуют.