Тест 7. Понятие вероятностй

Задача. Партия изделий содержит B процентов брака. Какого объема n должна быть контрольная выборка, чтобы с вероятностью P обнаружить в ней хотя бы одно бракованное изделие?

B(W)_mod168, P0.95P, P(1)^W .

Методические указания.

1. Данный случайный эксперимент отвечает схеме Бернулли.

2. Событие «хотя бы одно бракованное изделие» противоположно событию «ни одного бракованного изделия».

Тест 8. Случайные величины

Задача. Плотность вероятности f(t) времени реакции t наряда вневедомственной охраны на сигнал тревоги задана графиком на рис. 2.

0. Вычислить значение параметра T по формуле

T с.

0. Записать аналитическое выражение для f(t).

1. Найти значение параметра H из условия

.

0. Найти аналитическое выражение для функции распределения F(t) случайной величины t.

1. Определить числовые характеристики случайной величины t:

• ее математическое ожидание m_t,

• дисперсию D_t,

• среднеквадратическое отклонение _t.

0. Вычислить P(atb) – вероятность попадания СВ t в интервал ]a,b[, где

am_t0.05W_t, bm_t2_t.

Пример. W22.

Плотность вероятности f(t) задана графиком на рис. 3.

Решение.

0. Вычислим значение параметра T:

T 30.0 с.

0. В нашем случае f(t) состоит (рис. 3) из трех фрагментов: f_n(t)0 при t0, отрезка прямой f_p(t)ktb при 0tT и f_r(t)0 при tT, то есть

f(t)

Найдем параметры b и k прямой f_p(t), подставив в ее уравнение координаты точек (0,H) и , через которые она проходит:

bH, k .

Так получим следующее аналитическое выражение для f(t):

f(t) . (1)

0. Значение H находим из условия

.

С учетом того, что только фрагмент f_p(t) функции f(t) отличен от 0 (рис. 3), можем записать:

.

Последний интеграл представляет собою площадь трапеции с основаниями H, и высотой T (рис. 3). Эта площадь и равна 1:

1. H 0.05 с^1.

Подставив значение H в (1), получим окончательно

f(t)

0. По определению (8.5)

F(t) .

Ранее мы отметили, что функция f(t) состоит из трех фрагментов. Очевидно, что и функция F(t) тоже разбивается на три фрагмента: F_n(t) при t0, F_p(t) при 0tT и F_r(t) при tT:

F(t) . (2)

При этом

F_n(t) 0, F_p(t)F_n(0)   ,

F_r(t)F_p(T)  

  .

Найдем выражение для J(t) и значение для J(T).

J(t) .

Этап 1.

FJ(s)  

  .

Этап 2.

J(t)  .

J(T) T.

Далее

F_p(t)  , F_r(t)F_p(T)1.

Подставив полученные результаты в (2), запишем такое аналитическое выражение для F(t):

F(t) .

0. Числовые характеристики непрерывной СВ t, а именно, ее математическое ожидание, дисперсию и СКО вычисляем по их определениям (8.13), (8.14) и (8.10), соответственно.

Математическое ожидание:

m_t   .

Этап 1.

Fm(t) 

 

T T 

 Fm(v).

Этап 2.

m_t  

 T 3012.50 c.

Дисперсия:

D_t  

 

 .

Этап 1.

FD(t) 

 

 

 

 FD(v).

Этап 2.

D_tT²   68.75 c².

СКО:

_t   8.29 c.

0. По определению (8.6)

P(atb)F(b)F(a).

am_t0.05W_t 3.38,

bm_t2_t 29.08.

Полученные результаты отобразим на графиках (рис. 4).

Далее

  0.98.

  0.16.

Значит,

P(atb)0.980.160.82.