1.2. Операции над множествами

В теории множеств рассматривают операции, которые позволяют из одних множеств получать другие. Другими словами, результатом любой операции над множествами будет новое множество, элементами которого являются клоны тех элементов , которые отвечают определению данной операции.

Опишем основные из операций над множествами.

Пусть заданы множества A, B и  (рис.1.1,а). Перед выполнением операции нужно создать шаблон для ее результата (рис. 1.1,б). Пользуясь определением операции, на шаблоне выделяют ее результат сплошной границей и заливают (или штрихуют).

Объединение множеств. Эта операция – многоместная. Сформулируем ее определение для двух операндов (рис.1.1,в):

Объединением множеств A и B является новое множество C, состоящее из элементов множества A или элементов множества B.

О бозначают объединение множеств так: CAB.

Операцию объединения множеств A и B можно определить и указанием характеристических свойств элементов множества C:

CAB{x: xA или xB}.

Эта запись означает, что множество CAB образуют элементы x, а каждый из них входит или в A, или в B, или в оба эти множества.

Пример, A{1, 2, 3}, B{1, 3, 4}. Тогда CAB{1, 2, 3, 4}. В последнем множестве элемент 2 принадлежит множеству A, элемент 4 – множеству B, а элементы 1 и 3 входят и в A, и в B.

Можно составить объединение любого числа множеств:

CABC.

Пересечение множеств. И эта операция многоместная. Для двух операндов она формулируется так (рис.1.1,г):

Пересечением множеств A и B называют новое множество D, которое состоит из элементов, общих для A и B.

Пересечение множеств A и B обозначают как DAB.

Операцию пересечения множеств A и B можно определить и так:

DAB{x: xA и xB}.

Эта запись означает, что множество DAB образуют элементы x, а каждый из них входит и в A, и в B.

Пример. Пересечением множеств из предыдущего примера будет множество DAB{1, 3}.

Два множества A и B называют непересекающимися, если AB. Если же AB, то A и B – пересекающиеся множества.

Можно составить пересечение любого числа множеств:

DABC.

Дополнение множества до универсального. Эта операция одноместная, дополнить до универсального можно только одно множество (рис.1.1,д):

Дополнением множества B до универсального множества  называется новое множество F, включающее в себя элементы множества , но без элементов множества B.

Эту операцию обозначают так: FB.

Укажем характеристические свойства элементов множества F:

FB{x: x и xB}.

Пример. Имеем

{Азия, Африка, Америка, Австралия, Антарктида}.

B{Австралия, Антарктида}.

Тогда

B{Австралия, Антарктида}{Азия, Африка, Америка}.

Теперь можно сказать, что универсальным является такое множество , для которого справедливы соотношения:

AA, A.

Здесь A – произвольное множество.

Отметим, что результатом любой операции над множествами является новое множество. И это новое множество может быть операндом в другой операции. Так получают суперпозицию (цепочку) операций над множествами. При построении суперпозиций операций следует учитывать правило о приоритетах: наивысшим приоритетом обладает дополнение, следующий приоритет – у пересечения, самый низкий приоритет – у объединения множеств. Нарушить правило о приоритетах и задать иной порядок выполнения операций позволяют скобки. Выражение в скобках реализуется в первую очередь. Знание правила о приоритетах операций алгебры множеств позволяет заменить сложное выражение цепочкой более простых действий.

Пример. Имеем

Q(AB)(AC).

Заменим это выражение цепочкой таких действий:

PAB, RP, SAC, TS, QST.

Объединение множеств, пересечение множеств и дополнение множества до универсального образуют функционально полную систему операций алгебры множеств.

Любое преобразование множеств можно представить суперпозицией операций объединения, пересечения и дополнения.

В теории множеств используют и другие операции. Например, двуместная операция разность множеств (рис.1.1,е):

Разностью множеств A и B называют множество G, в которое включены элементы множества A и не включены элементы множества B.

Обозначают разность множеств так: GA\B.

Разность множеств A и B можно определить и так:

GA\B{x: xA и xB}.

Выразим операцию GA\B в терминах функционально полной системы операций:

GA\BAB. (1.1)

На рис. 1.1,г множество A показано пунктиром. Видно, что пересечение множеств A и B образует множество A\B (рис. 1.1,е).

Дополнение множества A до универсального  можно представить такой разностью:

A\A.