
- •Предисловие
- •Введение
- •Раздел I основания математики Глава 1. Элементы теории множеств
- •1.1. Понятие множества
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Аксиомы и теоремы алгебры множеств
- •Глава 2. Числа
- •2.1. Системы счисления
- •2.2. Классы чисел
- •2.3. Элементы статистической обработки данных
- •2.4. Алгоритмы решения вычислительных задач
- •Глава 3. Элементы математической логики
- •3.1. Понятие высказывания
- •3.2. Операции над высказываниями
- •2.3. Аксиомы и теоремы алгебры логики
- •Раздел II основы математического анализа Глава 4. Функции
- •4.1. Понятие функции
- •4.2. Аппроксимация функций
- •4.3. Предел функции
- •Глава 5. Основы дифференциального исчисления
- •5.1. Производная функции
- •5.2. Свойства дифференцируемых функций
- •5.3. Дифференциал функции
- •Глава 6. Основы интегрального исчисления
- •6.1. Определенный интеграл
- •6.2. Машинные алгоритмы вычисления определенных интегралов
- •Раздел III основы теории вероятностей Глава 7. Понятие вероятности
- •7.1. Элементы комбинаторики
- •7.2. Случайные события
- •7.3. Классическое определение вероятности
- •7.4. Теорема умножения вероятностей
- •7.5. Основные формулы теории вероятностей
- •Глава 8. Случайные величины
- •8.1. Понятие случайной величины
- •8.2. Законы распределения случайных величин
- •8.3. Числовые характеристики случайных величин
- •8.4. Канонические распределения случайных величин
- •8.5. Энтропия и информация
- •Раздел IV. Основные способы и методы защиты информации Глава 9. Основы криптографической защиты информации
- •9.1. Принципы и основные понятия криптографической защиты информации
- •9.2. Основные понятия и определения
- •Глава 10. Методы криптографической защиты информации
- •10.1. Методы перестановки
- •10.2. Метод гаммирования
- •Ответы к задачам
- •Раздел I.
- •Глава 1. Элементы теории множеств
- •Глава 2. Числа
- •Глава 3. Элементы математической логики
- •Раздел II. Основы математического анализа
- •Глава 4. Функции
- •Глава 5. Основы дифференциального исчисления
- •Глава 6. Основы интегрального исчисления
- •Раздел III. Основы теории вероятностей
- •Глава 7. Понятие вероятности
- •Глава 8. Случайные величины
- •Глава 9. Основы криптографической защиты информации
- •Глава 10. Методы криптографической защиты информации
- •Приложение тесты
- •Тест 1. Элементы теории множеств
- •Тест 4. Функции
- •Тест 5. Основы дифференциального исчисления
- •Определенный интеграл
- •Тест 7. Понятие вероятностй
- •Тест 8. Случайные величины
- •Тест 10. Методы криптографической защиты информации
- •Литература
- •Сведения об авторах
- •Королёв Владимир Тимофеевич, Ловцов Дмитрий Анатольевич,
- •Математика и информатика Часть первая
1.2. Операции над множествами
В теории множеств рассматривают операции, которые позволяют из одних множеств получать другие. Другими словами, результатом любой операции над множествами будет новое множество, элементами которого являются клоны тех элементов , которые отвечают определению данной операции.
Опишем основные из операций над множествами.
Пусть заданы множества A, B и (рис.1.1,а). Перед выполнением операции нужно создать шаблон для ее результата (рис. 1.1,б). Пользуясь определением операции, на шаблоне выделяют ее результат сплошной границей и заливают (или штрихуют).
Объединение множеств. Эта операция – многоместная. Сформулируем ее определение для двух операндов (рис.1.1,в):
Объединением множеств A и B является новое множество C, состоящее из элементов множества A или элементов множества B.
О
бозначают
объединение множеств
так: CAB.
Операцию объединения множеств A и B можно определить и указанием характеристических свойств элементов множества C:
CAB{x: xA или xB}.
Эта запись означает, что множество CAB образуют элементы x, а каждый из них входит или в A, или в B, или в оба эти множества.
Пример, A{1, 2, 3}, B{1, 3, 4}. Тогда CAB{1, 2, 3, 4}. В последнем множестве элемент 2 принадлежит множеству A, элемент 4 – множеству B, а элементы 1 и 3 входят и в A, и в B.
Можно составить объединение любого числа множеств:
CABC.
Пересечение множеств. И эта операция многоместная. Для двух операндов она формулируется так (рис.1.1,г):
Пересечением множеств A и B называют новое множество D, которое состоит из элементов, общих для A и B.
Пересечение множеств A и B обозначают как DAB.
Операцию пересечения множеств A и B можно определить и так:
DAB{x: xA и xB}.
Эта запись означает, что множество DAB образуют элементы x, а каждый из них входит и в A, и в B.
Пример. Пересечением множеств из предыдущего примера будет множество DAB{1, 3}.
Два множества A и B называют непересекающимися, если AB. Если же AB, то A и B – пересекающиеся множества.
Можно составить пересечение любого числа множеств:
DABC.
Дополнение множества до универсального. Эта операция одноместная, дополнить до универсального можно только одно множество (рис.1.1,д):
Дополнением множества B до универсального множества называется новое множество F, включающее в себя элементы множества , но без элементов множества B.
Эту операцию обозначают так: FB.
Укажем характеристические свойства элементов множества F:
FB{x: x и xB}.
Пример. Имеем
{Азия, Африка, Америка, Австралия, Антарктида}.
B{Австралия, Антарктида}.
Тогда
B{Австралия, Антарктида}{Азия, Африка, Америка}.
Теперь можно сказать, что универсальным является такое множество , для которого справедливы соотношения:
AA, A.
Здесь A – произвольное множество.
Отметим, что результатом любой операции над множествами является новое множество. И это новое множество может быть операндом в другой операции. Так получают суперпозицию (цепочку) операций над множествами. При построении суперпозиций операций следует учитывать правило о приоритетах: наивысшим приоритетом обладает дополнение, следующий приоритет – у пересечения, самый низкий приоритет – у объединения множеств. Нарушить правило о приоритетах и задать иной порядок выполнения операций позволяют скобки. Выражение в скобках реализуется в первую очередь. Знание правила о приоритетах операций алгебры множеств позволяет заменить сложное выражение цепочкой более простых действий.
Пример. Имеем
Q(AB)(AC).
Заменим это выражение цепочкой таких действий:
PAB, RP, SAC, TS, QST.
Объединение множеств, пересечение множеств и дополнение множества до универсального образуют функционально полную систему операций алгебры множеств.
Любое преобразование множеств можно представить суперпозицией операций объединения, пересечения и дополнения.
В теории множеств используют и другие операции. Например, двуместная операция разность множеств (рис.1.1,е):
Разностью множеств A и B называют множество G, в которое включены элементы множества A и не включены элементы множества B.
Обозначают разность множеств так: GA\B.
Разность множеств A и B можно определить и так:
GA\B{x: xA и xB}.
Выразим операцию GA\B в терминах функционально полной системы операций:
GA\BAB. (1.1)
На рис. 1.1,г множество A показано пунктиром. Видно, что пересечение множеств A и B образует множество A\B (рис. 1.1,е).
Дополнение множества A до универсального можно представить такой разностью:
A\A.