Тест 1. Элементы теории множеств

Задача. Заданы множества А, В, С,  (рис. 1). Заштриховать область Q, заданную формулой алгебры множеств номер W.

0. Q(ABC)(A(BC)).

1. Q(ABC)((CB)A).

2. Q(ACB)(ABC).

3. Q(B(AC))(ABC)).

4. Q(AC)(BC)(ABC).

5. Q(BC)(A(BC)).

6. Q((AC)B)(CB).

7. Q(A(BC))(A(BC)).

8. Q(ABC)(B(AC)).

9. Q(ABC)((AC)B).

10. Q(A(BC))(B(AC))(C(BA)).

11. Q(ABC)((AB)(AC)(BC))(ABC).

12. Q(ABC)(ABC).

13. Q(C(AB))(ABC).

14. Q((BC)A)((AC)B)(ABC).

15. Q(AC)(B(AC)).

16. Q(AB)(ABC).

17. Q(B(AC))(B(AC)).

18. Q(ABC)ABC.

19. Q(ABC)(AB)(AC)(BC).

Методические указания.

Рекомендуем сначала, используя тождества 10 и 10’, а также формулу (1.1), в заданном выражении для Q выполнить замены вида RS(RS), RS(RS), RSR\S, то есть преобразовать выражение для Q к виду, более удобному для построения искомого результата.

Пример. W18.

Q(ABC)(B(AC))(C(AB)).

Решение. Преобразуем выражение для Q:

Q(ABC)(B(AC))(C(AB))10, (1.1)

((ABC)B\(AC)C\(AB)).

Разложим полученное выражение в цепочку простых действий:

DABC, FB\(AC), GC\(AB), HDFG, QH.

Тест 2. ЧИСЛА

А. Системы счисления

Задача. Выполнить последовательный перевод числа Q из одной системы счисления в другую: 1021610.

Q2009(1)^W1W.

Пример. W22. Q2009221987.

Решение. При выполнении преобразования 102, пользуясь табл. 3.1 гл. 3, находим старшую степень двойки, которая умещается в Q1987. Так получим старшую цифру искомой двоичной записи Q. У нас это 1₁₀. Вычитаем из Q число 2¹⁰1024. Далее, двигаясь вниз по степеням двойки (табл. 3.1), получаем очередную цифру двоичной записи Q. Если эта степень k умещается в очередном остатке, то в разряд номер k записываем 1_k и вычитаем из остатка 2^k, в противном случае в этот разряд записываем 0_k, а вычитание не выполняем. Переходим к следующей меньшей степени двойки. Когда заполнен разряд номер 4 искомой двоичной записи Q, ее последние четыре цифры получим из табл. 3.1 как четырехразрядное двоичное изображение остатка меньше 16. У нас это остаток 30₃0₂1₁1₀.

102
1987		110	19	18	17	16	05	04	03 02 11 10.
1024
963
512	216
451	11019181716050403021110
256	¦0111¦1100¦0011¦
195	¦7¦C¦3¦7C3.
128
67	1610
64	7C372C1307162121613160
3	178219231987.

Для перевода 216 двоичную запись числа Q (см. выше) разбиваем на четверки разрядов, а потом каждую четверку двоичных разрядов заменяем одной шестнадцатеричной цифрой (колонка n₍₂₎ в табл. 3.1).

Перевод 1610 выполняем через полином степеней 16.

Б. Проценты

Задача. Цена на нефть в первый день торгов изменилась на p1 процентов, а во второй – на p2 процентов (см. табл. к тесту 3,б). На сколько p процентов изменилась ее цена за эти два дня?

Здесь: значение pk0 означает, что цена упала, а pk0 – цена возросла на pk процентов (k{1,2}).

Методические указания. Обратить внимание на то, что в этой задаче базы для вычисления процентов в первый и во второй дни различны.

Таблица к тесту 2,б
W	p1%, p2%	W	p1%, p2%
0	40, 25	10	15, 40
1	15, 60	11	40, 30
2	20, 50	12	35, 40
3	25, 16	13	20, 10
4	30, 20	14	40, 15
5	25, 24	15	50, 20
6	15, 40	16	20, 10
7	40, 30	17	40, 25
8	35, 60	18	15, 20
9	24, 50	19	20, 10

Тест 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Задача. Используя тождества математической логики, доказать истинность высказывания S номер W.

0. S((AB)(BA))((AB)(AB)).

1. S(((AB)(AB))(BA)(AB)).

2. S((AB)A)(AB).

3. S((ABAB)(AB)(AB)).

4. S((B(AB))A).

5. S((BA)(AB)(AB)(AB)).

6. S(AB)((AB)A).

7. S((AB)(AB)((AB)(AB))).

8. S(AB)(BA)(AB).

9. S(((AB)(BA))(AB)(AB)).

10. S((AB)(AB))(BA).

11. S(((BA)(AB))(AB)(AB)).

12. S((AB)B)(AB).

13. S((AB)(AB)).

14. S(AB)((AB)B).

15. S((BA)((AB)A))).

16. S(BA)(AB)(AB)(AB).

17. S((AB)(AB))((BA)(AB)).

18. S((AB)(BA)((AB)(AB))).

19. S((AB)(AB))((BA)(AB)).

Методические указания.

Сначала рекомендуем построить таблицу истинности для высказывания S номер W и убедиться в том, что при любых значениях высказываний A и B значение исходного утверждения S истинно (равно единице). Тогда истинность высказывания S можно доказать аналитически.

Аналитическое доказательство истинности высказывания S номер W состоит в том, чтобы, используя тождества математической логики, упростить исходное выражение до единицы. А для этого следует, прежде всего, выразить его с помощью формул (2.1) и (2.2) в терминах функционально полной системы операций алгебры логики.

Пример. W18. S((AB)(BA)).

Решение. Разложим выражение для S в цепочку простых операций алгебры логики:

DAB, FB, GA, HFG, S(DH).

A	B	D	F	G	H	S
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	1	0	0	1	1

Составим таблицу истинности для D, F, G, H, S (см. ниже). Как видим, при любых значениях A и B утверждение S истинно (S1).

Докажем истинность высказывания S аналитически.

S((AB)(BA))(2.1)((AB)(BA))12, 1

((AB)(AB))(AB)C(CC)(2.2)

(CC)(CC)7CC51.