Приложение тесты

Тест [англ. test –контрольная работа, проверка, экзамен] – задача, которую предлагается решить обучаемому для оценки его знаний и умений путем сравнения полученных им результатов с известным решением (с эталоном).

Каждый тест по данной дисциплине представляет собою домашнее контрольное задание ДКЗ, которое студент выполняет в часы самостоятельной работы после изучения очередной темы учебной программы по дисциплине.

Студент выполняет только один вариант номер W каждого теста:

W(N)_{mod 20},

где N – номер студенческого билета: /N.

Напомним, что (A)_{mod M} – остаток от деления числа А на модуль M нацело.

Отчет по ДКЗ оформляется по образцу, который приведен ниже. Отчет должен содержать:

вычисление номера варианта W,

условие задачи,

решение.

Решение задачи следует сопровождать необходимыми пояснениями, иллюстрациями, ссылками на формулы, аксиомы, теоремы и т.п. из учебника, конспекта лекций.

Аккуратно оформленный (пусть и от руки, но по образцу(!)) отчет по ДКЗ предоставляется преподавателю для оценки.

Кафедра информационного права,

информатики и математики

ДОМАШНЕЕ КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

по дисциплине

ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА

Тест 4. ФУНКЦИИ

А. Аппроксимация функций

Выполнил студент группы 9

(подпись) В. Чапаев

« 25 » ноября 2013 г.

N38. W(ДР)_{mod 20}18.

Задача

По заданному выражению f(x) построить на отрезке [a,b] таблицу объемом n.

Выполнить линейную аппроксимацию этой табличной функции, найти приближенные значения y по аппроксимирующим формулам и точные значения y_T для x{x1,x2}.

Оценить погрешность аппроксимации.

f(x)x2^x5,

a=0, b8, x11, x210.

Решение

Строим таблицу объемом n на отрезке [a,b] c шагом h.

n4, h 2.

xt₀a0, xt_i1xt_ih, i , xt_nb8, yt_if(xt_i), i .

Так получим табл.О1.

Таблица О1
i	0	1	2	3	4
xti	0	2	4	6	8
yti	0	16	8	3	1

Записываем формулы линейной аппроксимации табличной функции:

y_k(x)yt_k (xxt_k), (4.2)

k(x) (4.3)

Строим графики табличной функции {xt_i,yt_i} и заданной функции f(x). Для построения графика f(x) дополнительно вычислим ее значения для x{1, 3, 5, 7 9}: f(1)16, f(3)12, f(5)5, f(7)1.75, f(9) 0.56.

Отмечаем эти значения на графике. Соединяем эти точки и точки, заданные табл. 1, плавной линией. Точки табличной функции {xt_i,yt_i} соединяем отрезками прямых (4.2). Отмечаем кривую надписью f(x), а отрезки прямых – надписями _k(x), k . Результат – на рис. 1.

Полагаем xx11. Как видим (см. рис.1 или табл. О1), xt₀x1xt₁. Значит, по формуле (4.3) k10, и путем интерполяции находим приближенное значение y1 для x1:

y1₀(x1)yt₀ (x1xt₀)

0 (10)8.

Точное значение y1_T для x1 равно

y1_Tf(x1)x2^x1512^1516.

Наносим точку y1 на прямую ₀(x), а точку y1_T на кривую f(x) (рис. 1).

Погрешность аппроксимации составит

1  50%.

Большая погрешность аппроксимации при xx11 обусловлена тем, что на отрезке [0,2] прямая ₀(x) при n4 сильно отличается от кривой f(x), и при xx11 разность оказывается f(x1)₀(x1)y1_Ty1 максимальной.

Для xx210 имеет место x2xt₃, и k23. Экстраполяция вперед:

y2₃(x2)yt₃ (x2xt₃)

3 (106)1.

Точное значение y2_T для x2 равно

y2_Tf(x2) x2^x25102^105 0.31.

Наносим точку y2 на прямую ₃(x), а точку y2_T на кривую f(x) (рис. 1).

Погрешность аппроксимации составит

2  420%.

Как видим, экстраполяция далеко за пределы таблицы нецелесообразна из-за огромных погрешностей.

Для уменьшения погрешностей аппроксимации нужно увеличивать объем таблицы n, то есть уменьшать ее шаг h.