10.2. Метод гаммирования

Для шифрования методом гаммирования вся информация (исходный текст, ключ, зашифрованный текст) представляется в числовой форме. Обычно каждому символу буквенного алфавита ставится в соответствие некоторый двоичный код.

Для зашифрования методом гаммирования сначала на основе секретного ключа формируется последовательность двоичных чисел. Каждое число – гамма G_i отвечает своему коду символа исходного текста ТИm_i. Потом над двоичными кодами ТИm_i и G_i выполняют поразрядно операцию сложения по модулю 2. Выполнение этой операции называют наложением гаммы G_i на код ТИm_i (гаммиpованием). Результатом наложения гаммы будет код ТЗm_i символа зашифрованного текста.

Таблица 10.11				Таблица 10.12
x1	x0	Y		Y	x0	x1
0	0	0		0	0	0
0	1	1		1	1	0
1	0	1		1	0	1
1	1	0		0	1	1

Логическая операция сложения по модулю 2 задается табл. 10.11, а записывается как

Y=x₁Åx₀.

Здесь x₁ – цифра кода ТИm_i, x₀ – цифра кода G_i, Y – цифра кода ТЗm_i.

Выбор этой операции для кода гаммирования обусловлен тем, что она обратима (табл. 10.12), то есть

YÅx₀=x₁.

Это делает операцию гаммирования унифицированной: процедура расшифрования криптограммы выполняется путем наложения той же гаммы G_i на тот же код ТЗm_i с получением кода ТИm_i.

ПРИМЕЧАНИЕ. В криптографии (и не только там) убеждены, что логические операции сумма по модулю 2 (Å) и исключающее ИЛИ (XOR) – суть одно и то же. Дело в том, что для двух логических переменных таблицы истинности операций Å и XOR оказываются одинаковыми. Если же операндов больше двух, то таблицы истинности для операций Å и XOR будут существенно различными. И поэтому употребление названия XOR в качестве синонима Å некорректно.

Шифр гаммирования оказывается невскрываемым, если последовательность гамм представляет собою цепочку равновероятных случайных величин, а каждая гамма накладывается только один раз и только на один код (имеет место однократное гаммирование). В современных системах шифрования методом гаммирования последовательность гамм формируют программно. При этом получают цепочку псевдослучайных чисел. Дело в том, что элементы такой последовательности после некоторого их количества M повторяются, то есть эти элементы не являются строго случайными. Но в пределах одного периода их можно считать случайными. Для однократного гаммирования необходимо, чтобы число M было не меньше количества символов алфавита исходного текста. Каждую из программ для формирования гамм называют генератором псевдослучайных чисел.

Хорошими характеристиками в отношении периодичности и случайности получаемых гамм обладает генератор псевдослучайных чисел, который описывается таким соотношением:

G_i=(C1´G_i-1+C2)_{mod M}, i=1,2,…, M . (10.2)

Как видим, каждая следующая гамма G_i получается из предыдущей G_i-1 путем умножения ее на константу C1, сложением полученного произведения с константой C2 и взятием этой суммы по модулю M. Для получения гаммы G₁ необходимо задать величину G₀ – порождающее число, которое не является гаммой, а представляет собою секретный ключ шифра гаммирования. Если C1 нечетно, а (C2)_{mod 4}=1, то период повторения гамм равен M. Десятилетия были потрачены математиками на поиск удовлетворительных значений для C1, C2 и M. В конце концов, остановились на значениях C1=69069, C2=71365, а M должно быть степенью 2.

Рассмотрим конкретный вариант построения криптосистемы с использованием метода гаммирования.

Для кодирования символов русского алфавита используем восьмиразрядные двоичные изображения их естественных номеров из табл. 9.1. В табл. 10.13 приведены шестнадцатеричные эквиваленты этих кодов.

В алфавите 32 символа. Поэтому полагаем M=32=2⁵.

Таблица 10.13

Am

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

m

00

01

02

03

04

05

06

07

08

09

0A

0B

0C

0D

0E

0F

Am

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Щ

Ъ

Ы

Ь

Э

Ю

Я

m

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

1C

1D

1E

1F

Результат S_i наложения гаммы G_i на код Т_i символа исходного (зашифрованного) текста представим такой записью:

S_i=Т_iÅG_i. (10.3)

Пример. Методом гаммирования

а) зашифровать слово ГАММА ,

б) расшифровать полученную криптограмму.

а) Результаты работы по зашифрованию исходного текста сведем в табл. 10.14.

Таблица 10.14
i	1	2	3	4	5
ТИi	Г	А	М	М	А
ТИmi	03	00	0C	0C	00
Gi	18	1D	1E	0B	14
ТЗmi	1C	1D	12	05	14
ТЗi	Ь	Э	Т	Е	Ф

В первой строке таблицы – номера i ее столбцов. Во вторую строку записываем символы ТИ_i исходного текста, а в третью – их шестнадцатеричные номера ТИm_i из табл. 10.13

Далее по формуле (10.2), в которой i= , G₀=63, генерируем последовательность гамм G_i для каждого кода ТИm_i. Ниже на рис. 10.3 показан листинг вычислений по формуле (10.2) в системе компьютерной симуляции Mathcad. В первой строке заданы исходные данные, во второй записана формула (10.2) средствами Mathcad и выведены результаты вычислений. Вычисления ведутся в десятичной системе счисления. В последнем столбце второй строки листинга результаты переведены в шестнадцатеричную систему. Эти результаты и записываем в четвертую строку табл. 10.14. Напомним, что G₀=63=3F не является гаммой.

Для каждой пары кодов ТИm_i и G_i выполняем операцию наложения гаммы (10.3) (напомним (см. гл. 2, табл. 2.1), что одна шестнадцатеричная цифра – это четверка двоичных цифр и наоборот):

i=1.	ТИm1=03=	0	0	0	0	0	0	1	1
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G1=18=	0	0	0	1	1	0	0	0
	S1=	0	0	0	1	1	0	1	1	=1C

ТЗm₁=1C. ТЗ₁=Ь.

i=2.	ТИm2=00=	0	0	0	0	0	0	0	0
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G2=1D=	0	0	0	1	1	1	0	1
	S2=	0	0	0	1	1	1	0	1	=1D

ТЗm₂=1D. ТЗ₂=Э.

i=3.	ТИm3=0C=	0	0	0	0	1	1	0	0
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G3=1E=	0	0	0	1	1	1	1	0
	S3=	0	0	0	1	0	0	1	0	=12

ТЗm₃=12. ТЗ₃=Т.

i=4.	ТИm4=0C=	0	0	0	0	1	1	0	0
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G4=0B=	0	0	0	0	1	0	0	1
	S4=	0	0	0	0	0	1	0	1	=05

ТЗm₄=05. ТЗ₄=Е.

i=5.	ТИm5=00=	0	0	0	0	0	0	0	0
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G5=14=	0	0	0	1	0	1	0	0
	S5=	0	0	0	1	0	1	0	0	=14

ТЗm₅=14. ТЗ₅=Ф.

Полученные коды ТЗm_i записываем в пятую строку табл. 10.17.

Пользуясь табл. 10.16, для каждого кода ТЗ8_i находим соответствующий ему символ ТЗ_i зашифрованного текста и записываем его в шестую строку табл. 10.17.

В результате получим криптограмму ЬЭТЕФ .

б) Результаты действий по расшифрованию криптограммы ЬЭТЕФ сведем в табл. 10.15, которая подобна табл. 10.14. Но во второй строке табл. 10.15 записаны символы ТЗ_i зашифрованного текста, а в третьей – их шестнадцатеричные эквиваленты ТЗm_i.

Таблица 10.15
i	1	2	3	4	5
ТЗi	Ь	Э	Т	Е	Ф
ТЗmi	1C	1D	12	05	14
Gi	18	1D	1E	0B	14
ТИmi	03	00	0C	0C	00
ТИi	Г	А	М	М	А

Для каждой пары кодов ТЗm_i и G_i выполняем операцию наложения гаммы (10.3):

i=1.	ТЗm1=1C=	0	0	0	1	1	0	1	1
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G1=18=	0	0	0	1	1	0	0	0
	S1=	0	0	0	0	0	0	1	1	=03

ТИm₁=03. ТИ₁=Г.

i=2.	ТЗm2=1D=	0	0	0	1	1	1	0	1
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G2=1D=	0	0	0	1	1	1	0	1
	S2=	0	0	0	0	0	0	0	0	=00

ТИm₂=00. ТИ₂=А.

i=3.	ТЗm3=05=	0	0	0	0	0	1	0	1
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G3=0B=	0	0	0	0	1	0	0	1
	S3=	0	0	0	0	1	1	0	0	=0C

ТИm₃=0C. ТИ₃=М.

i=4.	ТЗm4=05=	0	0	0	0	0	1	0	1
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G4=0B=	0	0	0	0	1	0	0	1
	S4=	0	0	0	0	1	1	0	0	=0C

ТИm₄=0C. ТИ₄=М.

i=5.	ТЗm5=14=	0	0	0	1	0	1	0	0
		Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å	Å
	G5=14=	0	0	0	1	0	1	0	0
	S5=	0	0	0	0	0	0	0	0	=00

ТИm₅=00. ТИ₅=А.

Полученные коды ТИm_i записываем в пятую строку табл. 10.18.

Пользуясь табл. 10.13, для каждого кода ТИm_i находим соответствующий ему символ ТИ_i расшифрованного текста и записываем его в шестую строку табл. 10.15.

В результате получим исходный текст ГАММА .

Этим примером мы проиллюстрировали тот факт, что гаммирование – унифицированная процедура зашифрования и расшифрования текстов.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Изложить суть метода перестановки на примере шифра вертикальной перестановки.

2. С помощью шифра вертикальной перестановки с ключами K1=4, 1, 6, 2, 5, 3 и K2=4,2,3,5,7,1,6 зашифровать исходный текст

КЛЮЧИ ДОЛЖНЫ ВЫБИРАТЬСЯ СЛУЧАЙНО .

3. Изложить суть метода гаммирования.

Пояснить смысл операции сложения по модулю 2 и причины выбора этой операции для реализации метода гаммирования.

Описать назначение генератора псевдослучайных чисел и выбор его параметров.

4. Методом гаммирования

а) зашифровать слово АСУ ,

б) расшифровать полученную криптограмму.

В качестве гамм использовать первые три гаммы из табл. 10.17.

5. Выполнить ДКЗ: Тест 10. МЕТОДЫ КРИПТОГРАФИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ.