8.3. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения той или иной случайной величины описывает ее с вероятностной точки зрения в полной мере. Любые задачи, связанные со случайными величинами, могут быть решены с помощью законов распределения. Однако далеко не все задачи подобного рода требуют для их решения такой тяжелой артиллерии. Бывает достаточно оперировать с компактными характеристиками, отражающими самые существенные особенности случайных величин. Для этих целей и служат числовые характеристики случайных величин. В первую очередь, это математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Математическое ожидание МО характеризует местоположение случайной величины на числовой оси. Это своего рода центр тяжести всего массива ее отсчетов. Обозначают математическое ожидание случайной величины X как M[X], либо как m_x. Математическое ожидание случайной величины X называют еще и ее средним.

Дисперсия случайной величины X характеризует разброс (рассеяние, распределение) ее отсчетов на числовой оси относительно математического ожидания m_x этой случайной величины. Обозначают дисперсию случайной величины X как D[X] или как D_x.

Пусть математическое ожидание m_x случайной величины X задано. Тогда дисперсия случайной величины вычисляется так:

D[X]M[X²](m_x)², (8.8)

а именно, дисперсия СВ равна разности между ее средним квадратом и квадратом ее среднего.

Центрированной случайной величиной X_Ц, соответствующей X, называется отклонение X от ее математического ожидания m_x:

X_ЦXm_x.

Геометрически переход от X к X_Ц означает перенос начала координат на числовой оси в точку m_x. Иногда удобнее бывает вычислять дисперсию по формуле

D[X]D_xM[(Xm_x)²M[(X_Ц)²], (8.9)

то есть дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата соответствующей ей центрированной случайной величины X_Ц.

Отметим существенный факт. Если размерность математического ожидания m_x совпадает с размерностью самой случайной величины X, то дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Удобнее было бы оперировать с числовыми характеристиками одной размерности. Для этого из дисперсии извлекают корень квадратный. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением СКО случайной величины X и обозначают как _x:

_x . (8.10)

Размерность СКО совпадает с размерностью случайной величины.

Рассмотрим числовые характеристики дискретных случайных величин.

МО дискретной случайной величины вычисляют так:

M[X]m_xx₀p₀x₁p₁x_np_n

 . (8.11)

Как видим, математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенная сумма ее отсчетов, когда каждый отсчет x_k умножается на свою вероятность p_k (на свой вес), и полученные произведения суммируются.

Дисперсия дискретной СВ по формуле (8.8) вычисляется так:

D_x . (8.12)

Таблица 8.2
qk	1	2	5	7
pk	0.2	0.3	0.4	0.1
Таблица 8.3
rk	3	3	7	12
pk	0.2	0.5	0.2	0.1

Пример. В табл. 8.2 и 8.3 заданы законы распределения дискретных величин Q и R, соответственно. Найдем числовые характеристики этих случайных величин.

На рис. 8.7 показано размещение отсчетов случайных величин Q и R на числовой прямой. Сначала по формуле (8.11) вычисляем математические ожидания для случайных величин Q и R:

m_q10.220.350.470.13.5 (см. рис. 8.7),

m_r30.230.570.2120.13.5 (см. рис. 8.7).

Как оказалось, Q и R имеют одинаковые средние: m_qm_r3.5. Но легко заметить (рис. 8.7), что отсчеты R относительно m_r разбросаны сильнее, чем отсчеты Q относительно m_q.

По формулам (8.12) и (8.10) вычислим дисперсии и СКО для случайных величин Q и R:

D_q1²0.22²0.35²0.47²0.13.5²4.05,

_q2.01 (рис. 8.7),

D_r(3)²0.23²0.57²0.212²0.13.5²18.25,

_r4.27 (рис. 8.7).

Как видим, большему разбросу отсчетов случайной величины отвечают большие дисперсия и СКО.

Пример. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Z (табл. 8.1).

Действуя по формуле (8.11), находим МО для дискретной СВ Z:

M[z]m_z00.06410.28820.43230.2161.8.

Значит, центром тяжести для точек z{0, 1, 2, 3} из (табл. 8.1) будет точка m_z1.8.

Действуем по формулам (8.8) и (8.10):

D_z0²0.0641²0.2882²0.4323²0.2161.8²0.72.

_z0.85.

Рассмотрим числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Формулу для математического ожидания непрерывной случайной величины получим, если в соотношении (8.11) выполним такие замены:

• отсчеты x_k на переменную x,

• вероятность p_k на элемент вероятности f(x)dx,

• сумму n слагаемых – на интеграл в бесконечных пределах:

M[X] . (8.13)

Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляют так:

D_x . (8.14)

Пример. Случайные величины S и T заданы своими плотностями распределения (рис. 8.8):

f(s) f(t)

Плотности распределения f(s) и f(t) отвечают свойству 2: площадь под каждой из них равна единице.

Найдем числовые характеристики случайных величин S и T.

По формуле (8.13) вычисляем математические ожидания:

m_s  2 (см. рис. 8.8),

m_t  2 (см. рис. 8.8).

А теперь для S и T вычисляем дисперсии по формуле (8.14) и СКО по формуле (8.10):

D_s   ,

_s 0.58 (рис. 8.8),

D_t   ,

_t 1.15 (рис. 8.8).

И в этом случае случайная величина, значения которой занимают на числовой оси более широкую зону, имеет большие дисперсию и СКО.

Пример. Вычислить МО, дисперсию и СКО случайной величины W, распределенной по закону (8.4).

Вычисляем m_w по формуле(8.13). При этом учитываем, что заданная f(w)0 при w0 нижний предел интеграла равен 0.

m_w .

Этап 1. F(w)  

 

 .

Этап 2. m_w  1 

1 !Гл. 6, правило Лопиталя

1 101.

При вычислении D_w действуем по формуле (8.14), в которой нижний предел интеграла равен 0.

D_w .

Этап 1. F(w) 

 

(w1)²e^w2 

 

(w1)²e^w2 

(w1)²e^w2((w1)e^we^w)

  .

Этап 2. D_w  

1 1 ! 

1 1 ! 

1 101.

_w1.