7.4. Теорема умножения вероятностей

Введем сначала важные понятия о событиях независимых и зависимых.

Событие B называется независимым от события A, если вероятность наступления B не изменяется от того, произошло A или нет.

Событие D называется зависимым от события C, если вероятность наступления D имеет одно значение, когда C не произошло, и эта вероятность имеет другое значение тогда, когда C наступило.

Факт независимости случайных событий устанавливают путем анализа условий задачи, исследования модели случайного эксперимента.

Пример. Рассмотрим два случайных эксперимента.

1. В урне два белых шара и один черный. Из урны наугад вынимают один шар, фиксируют его цвет и возвращают шар в урну. Рассматриваются два события:

Б1 – появление белого шара в первой попытке,

Б2 – появление белого шара во второй попытке.

Очевидно, что вероятность наступления события Б2 равна , и она никак не зависит от того, произошло событие Б1, или оно не произошло. Значит, в этом случайном эксперименте событие Б2 не зависит от события Б1.

2. В урне два белых шара и один черный. Из урны наугад вынимают один шар, но не возвращают его в урну. Изучаются два события:

Б1 – появление белого шара в первой попытке,

Б2 – появление белого шара во второй попытке.

Теперь вероятность наступления события Б2 существенно зависит от того, имело место событие Б1 или нет. Если событие Б1 (вероятность его наступления равна ) произошло, то вероятность наступления Б2 равна (в урне остались один белый шар и один черный). Если же событие Б1 не наступило, то вероятность события Б2 равна 1 (в урне осталось только два белых шара). Значит, в этом случайном эксперименте событие Б2 зависит от события Б1.

Вероятность события B, вычисленная при условии, что имело место событие A, называется условной вероятностью события B и обозначается как P(BA).

Сформулируем теорему умножения вероятностей.

Вероятность произведения событий AB равна произведению вероятности первого сомножителя на условную вероятность второго сомножителя, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

P(AB)P(A)P(BA). (7.13)

Пусть в пространстве  (рис. 7.3) насчитывается n исходов. Событию A благоприятны m исходов, событию B благоприятны k исходов. Среди исходов, благоприятных событию A существуют исходы, которые благоприятны и событию B. Это те же l исходов, которые благоприятны событию AB (рис. 7.3). Тогда P(A) , P(AB) .

Условную вероятность P(BA) вычисляем, исходя из того факта, что событие A наступило. И если A наступило, то исходы, благоприятные событию B нужно выбирать из m исходов, составляющих событие A. Как видим (рис. 7.3), имеется l таких исходов. Значит, условная вероятность P(BA) вычисляется так:

P(BA) .

Подставив полученные выражения для P(AB), P(A) и P(BA) в формулу (7.13), получим тождество. Это означает, что теорема умножения вероятностей доказана.

Методом математической индукции теорему умножения вероятностей можно распространить на произведение любого числа событий:

P(ABC)P(A)P(BA)P(C(AB)),

P(ABCD)

P(A)P(BA)P(C(AB))P(D(ABC)) и т.д.

Пример. В урне лежат три белых, три черных и три желтых шара. Наугад вынимают один за другим три шара. Какова вероятность того, что все три вынутых шара окажутся одного цвета?

Первый шар может быть любого цвета – событие Ц1 (и это событие – достоверное). Но второй шар должен быть того же цвета, что и первый – событие Ц2. Третий шар должен быть того же цвета, что и два первых – событие Ц3. Событие Ц, состоящее в том, что все три шара одновременно окажутся одного цвета суть произведение трех названных: ЦЦ1Ц2Ц3. Далее по условию задачи: P(Ц1)1, P(Ц2Ц1) , а P(Ц3(Ц1Ц2)) . Поэтому

P(Ц)P(Ц1)P(Ц2Ц1)P(Ц3(Ц1Ц2))1   .

Следствием из теоремы умножения вероятностей будет такое утверждение.

Если событие B не зависит от события A, то и событие A не зависит от события B.

Условие независимости события A (события B) от события B (от события A) записывается так:

P(BA)P(B), (7.14)

P(AB)P(A). (7.15)

Положим, что (7.14) дано (событие B не зависит от события A) и докажем утверждение (7.15) – событие A не зависит от события B.

Запишем формулу умножения вероятностей для событий BA и AB:

P(BA)P(B)P(AB),

P(AB)P(A)P(BA).

В силу тождества 1’ алгебры событий (табл. 7.2) левые части этих выражений равны. Значит, равны и их правые части:

P(B)P(AB)P(A)P(BA),

или, согласно (7.14)

P(B)P(AB)P(A)P(B).

Полагая, что P(B)0, разделим обе части этого равенства на P(B):

P(AB)P(A),

что и требовалось доказать.

Для независимых событий теорема умножения вероятностей звучит так.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(AB)P(A)P(B),

P(ABC)P(A)P(B)P(C),

P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D) и т.д.

Пример. Вероятность того, что студент Имярек сдаст экзамен по ГП (гражданскому праву) P(ГП)0.7, а вероятность сдачи им экзамена по СС (судебной статистике) P(СС)0.8. Найти вероятность того, что Имярек а) сдаст оба экзамена, б) оба экзамена не сдаст.

а) Событие «сданы оба экзамена» суть ГПСС. События ГП и СС физически независимы. Поэтому

P(ГПСС)P(ГП)P(СС)0.70.80.56.

б) Если события ГП и СС независимы, то независимы и противоположные события ГП и СС. Вероятности этих событий вычисляются по формуле (7.10):

P(ГП)1P(ГП)0.3, P(СС)1P(СС)0.2.

Событие «оба экзамена не сданы» – это ГПСС. Значит,

P(ГПСС)(1P(ГП))(1P(СС))0.30.20.06.