7.3. Классическое определение вероятности

Каждое случайное событие обладает той или иной степенью возможности, одно большей, другое меньшей. Для некоторых событий мы можем сразу сказать, какое из них более возможно, а какое менее возможно. Так, событие «выпадение герба при одном броске монеты» более возможно, чем событие «выпадение трех гербов при трех бросках монеты». Относительно других событий аналогичных выводов разу сделать нельзя. Для этого требуется уточнить условия опыта. Так или иначе, ясно, что каждое из случайных событий обладает той или иной степенью возможности. Чтобы количественно характеризовать степень возможности события, нужно с каждым из них связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно это событие. Такое число и называют вероятностью события.

Итак, вероятность случайного события представляет собою количественную меру возможности его наступления.

Классический метод вычисления вероятностей сформировался в XVII веке как результат анализа азартных игр. В основе классического определения вероятности лежит понятие равновозможности исходов случайного эксперимента.

Равновозможность исходов означает, что нет никаких оснований предпочесть один исход другим, все исходы из рассматриваемого пространства элементарных событий имеют равные вероятности. Например, появление герба или решетки при одном броске монеты – исходы равновозможные. Чаще всего вывод о равновозможности исходов основан на соображениях о симметрии и однородности объектов, над которыми производится случайный эксперимент (каждая монета – тонкий, однородный круг, а каждый игральный кубик – идеальный однородный куб).

Рассмотрим испытание, в результате которого может наступить событие A. Каждый исход, принадлежащий подмножеству A, называют благоприятным событию A. Пусть, например, событие A – выпадение нечетного числа очков при одном броске игрального кубика. Понятно, что из шести равновозможных исходов этого эксперимента {1,2,3,4,5,6} благоприятными событию A являются три: {1,3,5}.

Теперь можно дать классическое определение вероятности.

Вероятностью события A называется отношение числа исходов, благоприятных событию A, к числу всех возможных исходов испытания.

Вероятность события A обозначают как P(A), число исходов, благоприятных A, как m(A), число всех возможных исходов как m()n. Тогда по определению

P(A) . (7.9)

Например, для вычисления вероятности события «выпадение нечетного числа очков при одном броске игрального кубика» имеем: m(A)3, n6. Значит,

P(A)  .

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, число исходов, благоприятных достоверному событию , равно мощности пространства элементарных событий m()n. Значит, по формуле (7.9) имеем

P() 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, для события  в пространстве элементарных событий нет ни одного благоприятного, то есть m()0, и

P() 0.

3. Вероятность произвольного случайного события заключена между нулем и единицей. Действительно, число исходов, благоприятных случайному событию A, находится в пределах 0m(A)n. Разделив каждый операнд в этих неравенствах на n, получим

  , или 0P(A)1.

4. Вероятность события A, противоположного событию A, вычисляется так:

P(A)1P(A). (7.10)

Число исходов, благоприятных событию A, равно m(A) из n. Остальные nm(A) исходов благоприятны противоположному событию, поскольку события A и A несовместны и образуют полный набор: AA, и m(AA)0. Значит, по определению вероятность события A есть

P(A) 1P(A).

5. Вероятность суммы произвольных событий AB вычисляется так:

P(AB)P(A)P(B)P(AB). (7.11)

Когда AB, в составе события A имеется m(AB) исходов, относящихся к событию AB. Столько же таких исходов имеется и в составе события B. Поэтому сумма m(A)m(B) включает в себя слагаемое m(AB) дважды. Но в состав события AB каждый из исходов, относящихся к событию AB, должен входить лишь один раз. Поэтому число m(AB) содержит в себе только одно число m(AB), а не два. Значит,

m(AB)m(A)m(B)m(AB).

Отсюда по определению получаем формулу (7.11), которую называют формулой (теоремой) сложения вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий AB равна

P(AB)P(A)P(B). (7.12)

Если события A и B несовместны, то AB, и m(AB)0. Значит, P(AB)0, и формула (7.11) преобразуется к формуле (7.12).

Правило (7.12) по индукции распространяется на произвольное число попарно несовместных событий A_k, k :

.

Попарно несовместные события A_i и A_j – это те события, для которых выполняется условие A_iA_j при любых ij, i,j .

Пусть события A, B,..., C образуют полный набор. Тогда

P(A)P(B)P(C)1.

В самом деле, по определению ABC, а P()1.