Введение

Математика – древнейшая из наук. Долгое время она была лишь инструментом для производства вычислений в различных областях человеческой деятельности. Поэтому Ф. Энгельс так определил ее предмет:

математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира.

Однако по мере своего развития математика все больше и больше превращалась в самодостаточную формализованную науку. С середины XX века она развивается сама по себе, изучая абстрактные объекты, ее результаты (какое-то время, часто достаточно большое) не находят непосредственного применения в практике за пределами самой математики. Это позволило коллективу французских математиков под общим псевдонимом Н. Бурбаки утверждать:

чистая математика представляется скоплением абстрактных форм – математических структур, не имеющих никакого отношения к окружающей действительности.

Абстрактный характер современной математики, с одной стороны, делает ее аппарат универсальным инструментом исследований в любых областях науки, а с другой стороны, существенно затрудняет ее освоение.

В математике изучают структуры трех типов:

• алгебраические структуры, когда на некотором множестве задается конечное число операций, свойства которых описываются системой аксиом;

• структуры порядка, которые характеризуются тем, что на рассматриваемом множестве задается отношение следования, когда про любые два элемента из этого множества можно сказать, какой из них предшествует другому;

• топологические структуры, обладающие тем свойством, что каждому элементу из некоторого множества сопоставляется такое его подмножество, которое называют окрестностью этого элемента.

Например, в арифметике заданы арифметические операции над целыми числами и аксиомы (скажем, такая: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется). Значит, целые числа суть алгебраическая структура.

Существуют и составные структуры. Про любые два целых числа можно сказать, какое из них предшествует другому на числовой прямой. А это структура порядка. Поэтому целые числа представляют собою составную структуру.

На протяжении всей истории математики ученые стремились разработать формализованную процедуру построения той или иной математической теории. Первым это сделал древнегреческий математик Евклид в III веке до нашей эры. Он сформулировал систему аксиом, на основе которой построил стройную теорию геометрии. Она оставалась незыблемой почти две тысячи лет. Революционный переворот в этой области совершил Н.И. Лобачевский, который в 1826 г. построил свою геометрию, отличную от евклидовой. Основу ее составила система аксиом Евклида, в которой была изменена только одна аксиома – о параллельных прямых. Теперь она утверждала, что через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную. Геометрия Лобачевского оказалась тоже логически стройной и математически строгой теорией, хотя ее положения не подтверждались практикой того времени. В дальнейшем был разработан аксиоматический метод – строго формализованная процедура построения любой дедуктивной теории. Эта процедура сводится к следующей схеме:

1. Выбирается совокупность первичных (фундаментальных) понятий, составляющих предмет теории.

2. Задается набор операций, операндами в которых выступают введенные понятия.

3. Составляется система простых, совместимых и независимых аксиом.

Под аксиомой некоторой теории при ее дедуктивном построении понимается высказывание, принимаемое на веру (без доказательства). Аксиомы отвечают таким требованиям:

• никакую из аксиом нельзя разбить на две или больше частей (аксиомы просты),

• аксиомы не противоречат друг другу, то есть из них нельзя логически вывести два взаимоисключающих утверждения (они совместимы),

• ни одну из аксиом нельзя вывести из совокупности других (аксиомы независимы).

4. Из аксиом путем некоторых рассуждений (или выполнения заданных операций над фундаментальными понятиями) выводятся логические следствия – теоремы, которые и составляют содержание теории.

Приведенная схема дает общее представление о сущности аксиоматического метода. Ниже, следуя этой схеме, мы излагаем раздел «Основания математики» (теорию множеств и математическую логику).

Характерной чертой математики является то, что ее абстрактные методы применимы к объектам произвольной природы, то есть математика остается инструментом познания все более сложных процессов и явлений, в том числе и не только математической природы. Этим обусловлено интенсивное использование математики в самых различных областях науки и практики, включая и сугубо гуманитарные.

Математика для специалиста в той или иной области является орудием, инструментом в его профессиональной деятельности. Поэтому он должен изучать математику для того, чтобы выбрать ту из ее теорий, которая ему кажется подходящей. Далее абстрактным понятиям этой теории придается содержательный смысл из сферы его профессиональной деятельности. В результате, абстрактная теория преобразуется в математическую модель, которая и становится инструментом в руках профессионала.

Если все преступления, совершенные по совокупности, являются преступлениями небольшой и средней тяжести, то окончательное наказание назначается путем поглощения менее строгого наказания более строгим либо путем частичного или полного сложения назначенных наказаний.

(УК РФ, Ст. 69, ч. 2)