5.2. Свойства дифференцируемых функций

Производная – мощный инструмент для исследования функций. По результатам исследований устанавливаются следующие свойства дифференцируемых функций (без особенностей в области определения каждой из них).

Непрерывность. Если функция f(x) имеет производную в точке xa, то она непрерывна в этой точке. Если функция имеет производную на интервале ]a,b[, то она непрерывна на этом интервале.

Монотонность. Если f^’(x)0 на интервале ]a,b[, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если f^’(x)0 на интервале ]d,e[, то функция монотонно убывает на этом интервале. Напомним, что функция возрастает (или убывает), если для любой пары x₂x₁ имеет место f(x₂)f(x₁) (или f(x₂)f(x₁)).

Как мы уже знаем, f’(x) – тангенс угла наклона касательной к f(x) в точке x. Значит, угол наклона касательной в любой точке интервала возрастания функции 0 (участок AB кривой f(x) на рис.5.2), и  в любой точке интервала убывания функции (участок DE кривой f(x) на рис.5.2).

Максимумы и минимумы. Точка xc называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки c функция f(x) определена и f(x)f(c) (точка C на кривой f(x) на рис.5.2). А точка xg называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки g функция f(x) определена и f(x)f(g) (точка G на кривой f(x) на рис.5.2). Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремумов. В точке экстремума (рис.5.2) касательная к f(x) горизонтальна.

Если функция f(x) в точке xx_m достигает своего экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю.

Это утверждение – суть теорема Ферма. Тот факт, что f’(x_m)0 – необходимое, но не достаточное условие экстремума функции в точке xx_m, а именно, обратное утверждение о том, что если в точке xx_j производная f’(x_j)0, то точка x_j есть точка экстремума функции f(x), верно не всегда. Например, на рис.5.2 в точке J производная от f(j) равна нулю (касательная к f(x) в этой точке лежит горизонтально), но точка xj не является точкой экстремума (слева от нее f(x)f(j), а справа – f(x)f(j)).

Сформулируем достаточное условие для существования экстремума функции в точке x_m.

Пусть f’(x_m)0, а xlx_m и xrx_m. Тогда функция f(x) достигает своего экстремума в точке x_m, если знаки величин f’(xl) и f’(xr) взаимно противоположны.

Какого именно экстремума достигает функция f(x) в точке x_m, определяют так:

если f’(xl)0, а f’(xr)0, то x_m – точка максимума функции f(x),

если f’(xl)0, а f’(xl)0, то x_m – точка минимума функции f(x).

Итак, процедура отыскания экстремумов функции f(x) сводится к следующей последовательности действий:

• вычисляют производную f‘(x) заданной функции f(x),

• находят все корни x₁, x₂,, x_m,, x_n уравнения f’(x)0,

• для каждого из корней x_m выполняют такие действия:

• отступают от x_m влево, положив xxl, и для этого значения x определяют знак производной f’(xl),

• отступают от x_m вправо, положив xxr, и для этого значения x определяют знак производной f’(xr),

• сравнивая знаки величин f’(xl) и f’(xr), определяют, какой именно экстремум функции f(x) отвечает точке x_m.

Значения xl и xr выбирают удобными для вычисления значений f’(xl) и f’(xr).

Пример. Найдем экстремумы функции

f(x)2x³6x²18x15:

• вычисляем f’(x)6x²12x18.

• решив уравнение 6x²12x180, найдем x₀1, x₁3.

• для x₀ положим xl2, xr0 и находим, что f’(2)300, а f’(0)180. Значит, точка x₀1 есть точка максимума для f(x),

• для x₁ положим xl0, xr4 и находим, что f’(0)180, а f’(4)300. Значит, точка x₁3 – точка минимума для f(x).

Заданная функция f(x) определена на всей числовой оси. Укажем на участки ее монотонности: при xx₀ функция возрастает, на интервале ]1, 3[ – убывает, а при x x₁ снова возрастает.

Рассмотрим такую функцию: f(x)(x1)³. Ее производная f’(x)3(x1)² равна нулю в точке x₁1. Однако и слева от этой точки xx₁,и справа от нее xx₁ производная f’(x)0. Значит, в этой точке экстремума функции f(x) нет.