4.2. Аппроксимация функций

Аппроксимация – это замена функции f(x) на отрезке [a,b] подходящей формулой (x) такой, чтобы погрешность замены (x)f(x) не превышала бы заданных значений.

Для выполнения аппроксимации функцию f(x) на отрезке [a,b] представляют таблицей {xt_i,yt_i}. Для этого отрезок [a,b] разбивают на n частей и получают набор значений аргумента табличной функции axt₀, xt₁, xt₂,, xt_k, xt_k1, xt_n1, xt_nb, а по формуле f(x) вычисляют набор отсчетов табличной функции yt_if(xt_i), i (число n – объем таблицы). По данным этой таблицы {xt_i,yt_i} и подбирают подходящую формулу (x).

Когда и для чего применяют аппроксимацию?

Первое, когда f(x) – сложная формула, и получение большого массива величин yf(x) требует значительных вычислительных затрат. Тогда формулу f(x) используют только для построения таблицы {xt_i,yt_i} объемом n, а основной массив значений y вычисляют по более простой формуле (x).

Второе, когда функция задана только таблицей {xt_i,yt_i}, полученной в ходе исследований, эксперимента, испытаний. Однако и для таких табличных функций бывает необходимо знать значения y для любых xxt_i. Формула (x), построенная по данным таблицы, оказывается единственным средством для решения такой задачи.

Вычисление y по формуле (x), когда x лежит внутри таблицы (xt₀x xt_n), называют интерполяцией функции {xt_i,yt_i}. Когда же x лежит вне таблицы, определение значения y(x) называют экстраполяцией функции {xt_i,yt_i}. Если xxt₀, то имеет место экстраполяция назад, если же xxt_n, экстраполяция вперед. Примером экстраполяции вперед будет прогноз показателей преступности на следующий год по результатам измерений ее параметров в предыдущие годы.

Самый простой способ аппроксимации функции основан на том, что каждые две соседние точки на графике табличной функции (xt_k,yt_k) и (xt_k+1,yt_k+1) (k ,) соединяют прямой линией (рис. 4.6). Такая аппроксимация называется линейной. Уравнение отрезка прямой _k(x) и будет подходящей формулой, по которой вычисляется y для любого x[xt_k, xt_k+1]. Поскольку k , при линейной аппроксимации имеем n уравнений вида _k(x), то есть n подходящих формул с номерами от 0 до n1 (рис. 4.6). Отметим, что номер k формулы и номер отрезка совпадают с номером точки, в которой этот отрезок начинается.

Формулу для _k(x) получим так. На рис. 4.7 показан фрагмент графика табличной функции на отрезке [xt_k, xt_k+1]. Зададим на этом отрезке значение x и отметим на отрезке прямой, соединяющей точки y_k и y_k1, значение y_k(x). Как видим,

y_k(x)y_ky.

Величину y найдем из подобия прямоугольных треугольников, один из которых имеет катеты y и xx_k, а другой – катеты y_k1y_k и x_k1x_k:

 .

Отсюда

y .

Подставив найденное y в выражение y_k(x)y_ky, получим искомое

y_k(x)yt_k (xxt_k), (4.2)

Напомним, что здесь k , то есть формула (4.2) и есть уравнение любого из n отрезков на рис. 4.6.

Две прямые на рис. 4.6 – особые. Формулу для самой левой из них ₀(x) используют не только для вычисления значений y на отрезке [xt₀,xt₁], но и для всех xxt₀, то есть для экстраполяции назад. Формулу для самой правой прямой _n-1(x) используют и для экстраполяции вперед, то есть для вычисления значений y при всех xxt_n. На рис. 4.6 нахождение значения y1 для x1: y1_k(x1) – суть интерполяция, значения y2 для x2: y2₀(x2) – экстраполяция назад, значения y3 для x3: y3_n-1(x3) – экстраполяция вперед.

Номер k уравнения той прямой _k(x), на которой лежит искомое значение y, определяют по заданному x так:

k(x) (4.3)

В найденную формулу _k(x) подставляют заданное значение x, значения yt_k, yt_k+1, xt_k, xt_k+1 из таблицы {xt_i,yt_i} и вычисляют искомое значение y.

Ломаная _k(x) (k ) отличается от графика функции f(x), по которой построена таблица {xt_i,yt_i}. Поэтому значение y_k(x), полученное по аппроксимирующей формуле, содержит ошибку. Оценить эту ошибку можно, сравнив результат аппроксимации с точным значением y_Tf(x), скажем, так:

% 100%.

Полагаем, что y_T0.

Пример. Данные о количестве зарегистрированных преступлений П в городе Б за последние годы Г содержит табл.4.3. Восполнить недостающие сведения о количестве П за 2010 год и найти ожидаемое значение П в 2013 году.

Таблица 4.3
i	0	1	2	3
Гтi	2008	2009	2011	2012
Птi	215	226	274	285

По табл. 4.2 строим график (рис. 4.7).

По формуле (4.3) для Г12009 находим, что k1. Подставляем это значение k в формулу (4.2), поменяв в ней обозначения переменных, и вычисляем искомое значение П1:

П1Пт₁ (Г1Гт₁)

226 (20102009)250.

Проверим полученный результат, задав точку (Г1,П1) на графике (рис. 4.7).

Значение П2 можно получить прямо по графику, для чего задать точку Г22013 на оси абсцисс и найти точку П2 на соответствующей прямой (рис. 4.7). Тем не менее, находим k2 для Г22013, и

П2Пт₂ (Г2Гт₂)

274 (20132011)285.

Отметим, что в этой задаче функция задана только таблицей, и для оценки погрешностей данных нет.