2.3. Аксиомы и теоремы алгебры логики

В булевой алгебре для любых высказываний A, B и C справедливы следующие аксиомы алгебры логики 1..5 и 1’..5’, а также и теоремы 6..12 и 6’..11’ (табл. 3.11). Для дизъюнкции и конъюнкции в булевой алгебре действуют законы коммутативные 1, 1’, ассоциативные 2, 2’ и дистрибутивные 3, 3’. Коммутативность операции позволяет располагать операнды в ней в произвольном порядке. Ассоциативность позволяет свести многоместную операцию к последовательности двуместных операций. Дистрибутивность позволяет выносить за скобки однородные члены или задает правило раскрытия скобок.

Таблица 3.11
1	ABBA		2	ABC(AB)C
1’	ABBA		2’	ABC(AB)C
3	A(BC)(AB)(AC)		4	A0A
3’	A(BC)(AB)(AC)		4’	A1A
5	AA1		6	A11
5’	AA0		6’	A00
7	AAA		8	A(AB)A
7’	AAA		8’	A(AB)A
9	(AB)(AB)A		10	(AB)AB
9’	(AB)(AB)A		10’	(AB)AB
11	01		12	AA
11’	10

Как видим, приведенная система аксиом и теорем алгебры логики отвечает принципу двойственности.

Таблица 3.12
A	B	A	AB	AB	AB	(AB)
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

Таблицы, которые задают операции алгебры логики, тоже по сути своей аксиомы. Заменим в этих таблицах логические переменные произвольными высказываниями A и B и сведем их в одну общую табл. 3.12. Приоритеты этих операций убывают в таком порядке: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, равнозначность.

Наконец, приведем формулы, которые позволяют представить импликацию и равнозначность для высказываний A и B в терминах функционально полной системы операций алгебры логики.

ABAB (3.1)

(AB)ABAB (3.2)

Каждая из теорем легко доказывается с помощью табл.3.10 и табл. 3.12. Так, утверждение 12, которое называется законом двойного отрицания, доказывается непосредственной проверкой (табл.3.13).

Пример. Высказывание

«Неправда, что математика юристу не нужна»

не что иное, как двойное отрицание исходного утверждения

«Математика юристу нужна».

Утверждения 9 и 9’ называются законами склеивания. Докажем второе из этих утверждений:

(AB)(AB)3A(BB)5’A04A.

Таблица 3.13
A	BA	CBA
0	1	0
1	0	1

Читателю предложим самостоятельно доказать утверждения 10 и 10’, которые называются правилами де Моргана (по имени шотландского математика и логика Огюста де Моргана, первого президента Лондонского математического общества).

Мы же проиллюстрируем одно из этих правил таким примером. Про кого-то говорят: «Ни рыба, ни мясо!». Средствами логики эта фраза строится так: (он НЕ рыба) И (он НЕ мясо). Легко видеть, что это правая часть тождества 10. Ту же мысль можно сформулировать иначе: НЕПРАВДА, что (он рыба ИЛИ он мясо). А эта конструкция – суть левая часть тождества 10.

Приведенные тождества 1..11, 1’..11’ и 12 можно использовать для эквивалентных преобразований аналитических выражений и для доказательства любых других утверждений алгебры логики. Однако в табл. 3.10 нет операций импликации и равнозначности. Поэтому прежде чем воспользоваться этими тождествами, в исходном выражении необходимо с помощью формул (3.1) и (3.2) выразить импликации и равнозначности в терминах функционально полной системы операций.

Пример. Докажем аналитически истинность утверждения о том, что показание ПСx₀(x₂x₁) вытекает из показания ПИx₁x₀:

x₁x₀x₀(x₂x₁)(3.1), 3’

(x₁x₀)(x₂x₀)(x₁x₀)51(x₂x₀)61.

До сих пор мы получали ФАЛ путем анализа в сложных высказываниях логических связок типа И, ИЛИ, ЕСЛИ, ТО. Существуют способы получения ФАЛ из таблиц истинности, которые строят по результатам анализа высказываний.

Пример. Жюри из трех человек Ж2, Ж1, Ж0 принимает решение большинством голосов. При этом каждый член жюри может голосовать либо «за», либо «против». Опишем средствами алгебры логики все возможные результаты голосования. Для этого каждому из членов жюри поставим в соответствие свою логическую переменную Ж2x₂, Ж1x₁, Ж0x₀, , которая принимает значение 0, если он голосует «против», и значение 1, когда он голосует «за». Результат голосования – логическая переменная Y. Она принимает значение 0, если решение не принимается, и значение 1, если оно принимается.

Таблица 3.14
x2	x1	x0	Y
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

А теперь составим таблицу истинности для такой ФАЛ (табл. 3.14). Колонки для x₂, x₁ и x₀ заполняем по описанному выше правилу, а Y равен 1 тогда, когда хотя бы два из трех аргументов равны 1 (хотя бы два из трех членов жюри голосуют «за»).

Рассмотрим один из возможных способов получить из таблицы истинности аналитическое выражение для Y, а именно, «построение формулы по единицам». Для этого выделим в табл. 3.14 те строки, в которых Y1, и составим для каждой из этих строк конъюнкцию всех аргументов. При этом переменная x_k (k{2,1,0}) входит в такую конъюнкцию прямо (как x_k), если в данной строке x_k1, если же здесь x_k0, то она входит в конъюнкцию под знаком инверсии (как x_k). Полученные конъюнкции объединим операцией дизъюнкции. Так получим ФАЛ для Y:

Y(x₂x₁x₀)(x₂x₁x₀)(x₂x₁x₀)(x₂x₁x₀).

Пользуясь эквивалентностями алгебры логики, это выражение можно упростить:

Y7(x₂x₁x₀)(x₂x₁x₀)(x₂x₁x₀)

(x₂x₁x₀)(x₂x₁x₀)(x₂x₁x₀)2, 9, 6’

(x₁x₀)(x₂x₀)(x₂x₁).

Приведенные ранее выражения для импликации и равнозначности в терминах булевой алгебры были получены именно таким способом (построены по единицам).

Аналитическое выражение, построенное по единицам таблицы истинности для ФАЛ, называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой СДНФ. СДНФ – канонический (стандартный) способ задания ФАЛ. Любой логической функции отвечает одна и только одна таблица истинности, а значит, и одна и только одна СДНФ. Обычно СДНФ допускает упрощения (как это былов в нашем примере), результатом которых будет формула с меньшим объемом вычислений.

Любую ФАЛ можно преобразовать к СДНФ. Для этого ее сначала, пользуясь теоремами и аксиомами алгебры логики, представляют дизъюнкцией конъюнкций. А потом каждое слагаемое умножают на такую дизъюнкцию (x_mx_m) того сомножителя x_m, которого нет в этом слагаемом.

Пример. Развернем в СДНФ выражение для импликации в терминах функционально полной системы операций:

x₁x₀x₁x₀x₁(x₀x₀)x₀(x₁x₁)3’, 1, 7

(x₁x₀)(x₁x₀)(x₁x₀).

Отметим, что последнюю формулу можно построить по единицам табл. 3.6, что мы предложим сделать читателю.

Еще один пример, который называют законом достаточного основания. Юридическая интерпретация этого закона может быть такой: если составлен перечень улик (У), достаточный для заключения о виновности (В), и эти улики собраны (У), то обвиняемый виновен (В).

Докажем, что это утверждение истинно (аргументация обвинения логически корректна). На языке алгебры высказываний этот закон можно выразить такой равнозначностью:

(((УВ)У)В)1.

Сначала упростим посылку второй импликации:

(УВ)У(3.1)(УВ)У3^’

(УУ)(ВУ)5^’0ВУ4,1УВ.

Следовательно,

(((УВ)У)В)((УВ)В)(3.1)

((УВ)В)10^’УВВ5,61.

Значит, логически формулировка закона достаточного основания верна.

Таблица 3.15
Не A, или то, что получится в результате вставки частицы «не» перед глаголом в предложении A. Не верно, что A. A не имеет места A.	A
A и B. Не только A, но и B. Как A, так и B. A вместе с B. B, хотя и A. B, несмотря на A. A, в то время как B.	AB
A или B. Или A, или B, или оба. A и/или B. A, если не B.	AB
Если A, то B. В случае A имеет место B. Для A необходимо B. B имеет место в случае A. B, если A.	AB
A если и только если B. Если A, то B, и наоборот. A, если B, и B, если A. Для A необходимо и достаточно B. A эквивалентно B. A тогда и только тогда, когда B.	AB
Ни A, ни B.	AB
Или A, или B, но не оба вместе. Либо A, либо B, но не оба вместе.	AB  AB

Математическая логика развивает культуру логичных рассуждений. Однако нужно умение переводить утверждения обычной речи в символику алгебры логики. Сведем в табл. 3.15 список (не исчерпывающий) предложений в левом столбце, которым отвечает логическая формула в правом столбце.

Переводя выражения обычного языка на язык алгебры логики, мы иногда теряем некоторые оттенки смысла, но зато выигрываем в точности анализа. Так, утверждения AB и BA в алгебре логики абсолютно одинаковы в силу аксиомы 1^’. А вот фразы «У Джейн родился ребенок (A), и она вышла замуж (B)» и «Джейн вышла замуж (B), и у нее родился ребенок (A)» понимаются по-разному. Здесь порядок сомножителей в конъюнкциях воспринимается как следование их во времени. А в алгебре высказываний время не является аргументом в логических формулах. Перевод же той и другой фразы посредством AB или BA, соответственно, прост и достаточен для логического анализа, тем более что в этих фразах действительно нет идеи времени.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Пояснить основные понятия математической логики:

«высказывание»,

«простое высказывание»,

«сложное высказывание».

2. Привести определения логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, равнозначность.

3. Сформулировать понятие функционально полной системы операций алгебры логики.

4. Сформулировать правило о приоритетах логических операций.

5. Следующие утверждения перевести на язык алгебры логики и для каждого из них построить таблицу истинности.

а) Уголовной ответственности подлежит лицо, совершившее преступление и достигшее ко времени его совершения шестнадцатилетнего возраста.

б) Лицо не подлежит уголовной ответственности за преступление, если оно добровольно и окончательно отказалось от доведения этого преступления до конца.

в) Преступление признается совершенным по небрежности, если лицо не предвидело возможности наступления общественно опасных последствий своих действий (бездействия), хотя при необходимой внимательности и предусмотрительности должно было и могло предвидеть эти последствия.

г) a<b или a=b;

д) если a>b, а b>c, то v=w;

6. Пояснить смысл свойства двойственности системы аксиом и теорем алгебры логики.

7. Составить таблицы истинности для следующих высказываний:

а) P(PQ);

б) P(QR);

в) (P(QR))(PQ).

8. Пользуясь табл. 3.16, записать и упростить (если можно) ФАЛ для P, Q, R.

9. Таблица 3.16
   x2	x1	x0	P	Q	R
   0	0	0	0	1	1
   0	0	1	0	0	1
   0	1	0	0	0	1
   0	1	1	0	0	1
   1	0	0	1	1	1
   1	0	1	1	0	1
   1	1	0	1	1	1
   1	1	1	0	0	1

   Доказать истинность следующих утверждений:

а) (AA)1 – закон противоречия,

б) (AA)A – принцип приведения к абсурду,

в) A(AB)B – правило извлечения следствия,

г) (AB)(BA) – закон контрапозиции,

д) ((AB)A)A – закон Пирса,

е) ((AB)(BC))(AC) – закон силлогизма.

10. Выполнить ДКЗ: Тест 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

Время содержания лица под стражей до судебного разбирательства засчитывается в сроки лишения свободы, содержания в дисциплинарной воинской части и ареста из расчета один день за один день, ограничения свободы – один день за два дня, исправительных работ и ограничения по военной службе – один день за три дня, а в срок обязательных работ – из расчета один день содержания под стражей за восемь часов обязательных работ.

(УК РФ, Ст. 72, ч.3)