ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ПРАВОСУДИЯ»

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Часть первая

МАТЕМАТИКА

Под редакцией Д. А. Ловцова

Москва

2013

УДК 51

ББК 22.1

М 21

Авторы

В.Т. Королев

профессор, кандидат технических наук,

Д.А. Ловцов

профессор, доктор технических наук,

Радионов В.В.

доцент, кандидат технических наук,

Редактор:

Д.А. Ловцов

профессор, доктор технических наук,

Математика / Под ред. Д.А. Ловцова. –М.: РАП, 2013.

Содержание учебного пособия (часть первая) отвечает требованиям ФГОС высшего профессионального образования по специальности 031003.65 – «Судебная экспертиза», а также по направлениям подготовки 080100.62 – «Экономика», 080200.62 – «Менеджмент».

Изложены основания математики, начала математического анализа с элементами алгоритмов решения вычислительных задач, введение в теорию вероятностей, оснвы защиты информации.

Пособие адресовано студентам специалитета и баклаврита вузов. Им могут пользоваться и преподаватели, ведущие занятия по этой и родственным дисциплинам, а также эксперты, которые самостоятельно изучают элементы высшей математики.

© В.Т. Королев, Д.А. Ловцов, В.В. Радионов, 2013

© Российская академия правосудия, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

1.1. Понятие множества 12

1.2. Операции над множествами 14

1.3. Аксиомы и теоремы алгебры множеств 18

Вопросы и задачи для самоконтроля 20

2.1. Системы счисления 21

2.2. Классы чисел 26

2.4. Алгоритмы решения вычислительных задач 35

Вопросы и задачи для самоконтроля 39

3.1. Понятие высказывания 40

3.2. Операции над высказываниями 42

2.3. Аксиомы и теоремы алгебры логики 51

Вопросы и задачи для самоконтроля 57

4.1. Понятие функции 59

4.2. Аппроксимация функций 64

4.3. Предел функции 69

Вопросы и задачи для самоконтроля 78

5.1. Производная функции 79

5.2. Свойства дифференцируемых функций 83

5.3. Дифференциал функции 86

Вопросы и задачи для самоконтроля 88

6.1. Определенный интеграл 89

6.2. Машинные алгоритмы вычисления определенных интегралов 100

Вопросы и задачи для самоконтроля 108

7.1. Элементы комбинаторики 110

7.2. Случайные события 117

7.3. Классическое определение вероятности 125

7.4. Теорема умножения вероятностей 128

7.5. Основные формулы теории вероятностей 131

Вопросы и задачи для самоконтроля 138

8.1. Понятие случайной величины 140

8.2. Законы распределения случайных величин 141

8.3. Числовые характеристики случайных величин 149

8.4. Канонические распределения случайных величин 156

8.5. Энтропия и информация 162

Вопросы и задачи для самоконтроля 174

9.1. Принципы и основные понятия криптографической защиты информации 178

9.2. Основные понятия и определения 184

Вопросы и задачи для самоконтроля 188

10.1. Методы перестановки 189

10.2. Метод гаммирования 194

Вопросы и задачи для самоконтроля 200

Предисловие

Зачем юристу, судебному эксперту математика? Ведь юриспруденция считается сугубо гуманитарной областью, и многие из наших читателей пошли учиться в юридическое учебное заведение для того, чтобы не мучиться с математикой. Они считают, что юристу в его будущей работе математика не понадобится, и, стало быть, незачем тратить на нее время. Но это убеждение противоречит практике.

Всякое специальное образование предполагает освоение, наряду с профильными науками, еще и базовых достижений человеческой культуры. Естественные науки (а это – половина (как минимум!) мировой культуры) составляют базис научно-технической революции и опираются на математику. Математика – одна из важнейших составляющих культуры, такая же, как философия, естествознание и др. Любопытно, что существенный вклад в достижения математики внесли юристы. Так, Пьер Ферма (1601-1665) – французский математик, слушал право в Тулузском университете, служил советником кассационной палаты Тулузского парламента. Одна из самых таинственных и фантастических историй в математике связана с великой теоремой Ферма, которая утверждает, что уравнение xⁿyⁿzⁿ при n2 не имеет решений в натуральных числах (к примеру, таких, как 3²4²5²). Ферма на полях книги древнегреческого математика Диофанта написал, что «открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». С тех пор математики бьются над доказательством этой теоремы, но получили его лишь для двух-трех значений n. Общего доказательства пока нет (видимо, оно ждет своего правоведа). А Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) был юристом по образованию, необычайно разносторонним и талантливым ученым, чьи способности с наибольшей силой проявились в математике. Именно юрист Лейбниц впервые ввел в употребление такие математические термины, как абсцисса, ордината, координата, функция, алгоритм и др.

Итак, математика для юристов – это общеобразовательная дисциплина, как право для инженеров или экономика для тех и других.

В юриспруденции, в судебной экспертизе, как и в математике, применяются одинаковые методы построения рассуждений, цель которых – выявить истину. Правовед, как и математик, должен уметь мыслить логически, применять на практике индуктивный (от частного к общему) и дедуктивный (от общего к частному) методы. Математика способствует формированию такого склада ума, при котором критической проверке и логическому обоснованию подвергаются те или иные сведения, утверждения, точки зрения. Математика имеет свой язык, овладев которым, юрист, судебный эксперт приобретает такие важные навыки рационального выражения мысли, как точность, ясность, последовательность, лаконичность, выразительность. Осваивая математику, будущий правовед формирует свое профессиональное мышление. Английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон говорил: «Кто не знает математики, не может освоить никакой другой науки и даже не в состоянии обнаружить своего невежества».

В то же время и сугубо профессиональная деятельность юриста требует от него математических познаний. Так, сегодня многие правовые акты оперируют с формулами.

Пример. В Законе «О трудовых пенсиях в РФ» (ст. 16, ч. 1) приведена формула:

ППК/(ТК)/КНБ

(смысл каждого из операндов в статье поясняется).

К сожалению, формула записана небрежно. Правая часть ее по смыслу – многоэтажная дробь. Но здесь она заменена строкой делений, а деление задано символом /. Такая форма записи чревата ошибками в вычислениях. Дело в том, что операции в цепочке сложений без скобок, операции в цепочке умножений без скобок можно выполнять в любом порядке. Бывает, что это распространяют и на цепочку делений. Однако операции в цепочке делений без скобок следует выполнять только в порядке их следования в строке. Запись в традиционной для математики форме

П Б

задает единственный порядок выполнения вычислений, и он не зависит от указанной особенности операции деления.

Или такой пример. Суду необходимо определить степень опьянения потерпевшего. В руководстве по судебно-медицинской экспертизе СМЭ приведена следующая шкала о степени опьянения:

• 1.5 – 2.5 промилле  опьянение средней тяжести,

• 2.5 – 3.0 промилле  сильное опьянение,

• 3.0 – 5.0 промилле  тяжелое отравление.

В рамках СМЭ было установлено, что содержание алкоголя в крови потерпевшего составило 2.9 промилле. На первый взгляд результаты экспертизы говорят о том, что потерпевший находился в состоянии сильного опьянения. Однако такой вывод доверия не заслуживает, поскольку в задании на проведение СМЭ погрешность измерений указана не была. На практике, если нет специальных указаний о требуемой точности, подобные измерения выполняются по упрощенной методике с погрешностью в 20% от измеренного значения. Значит, содержание алкоголя в крови потерпевшего составляло 2.90.6 промилле, то есть могло лежать в пределах от 2.3 до 3.5 промилле. В этом случае судья не может сделать никакого вывода о степени опьянения потерпевшего, кроме того, что пьяным он был.

В данном случае были нарушены положения Закона «Об обеспечении единства измерений», в котором говорится, что «единство измерений – состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах величин и погрешности измерений не выходят за установленные границы с заданной вероятностью». Для однозначного определения степени опьянения в задании на экспертизу нужно было бы потребовать проведения измерений с погрешностью, существенно меньшей, чем 20%. Конкретное числовое значение требуемой точности измерений можно получить, используя аппарат теории вероятностей.

В практике судебной экспертизы широко проводятся различного рода исследования и эксперименты. При обработке их результатов применяются методы математической статистики. Статистика же опирается на теорию вероятностей. Та, в свою очередь, использует результаты математического анализа, основу которого составляют такие фундаментальные понятия как число, функция, производная, интеграл. А в математическом анализе используется аппарат теории множеств и математической логики. Сказанное и определило структуру первой части учебного пособия. Её содержимое разбито на четыре раздела:

1. Основания математики.

2. Основы математического анализа.

3. Основы теории вероятностей.

4. Основные способы и методы защиты информации.

Учебный материал изложен на уровне основ, элементов, понятий, в нем нет математических тонкостей, которые не столь важны для будущих юристов. Зато имеется достаточно примеров из области юриспруденции. При разработке таких примеров использовалась «Справочная правовая система «КонсультантПлюс». Поэтому материал вполне доступен студентам как высших, так и средних учебных заведений юридического профиля.

Каждую главу завершает параграф с вопросами и задачами для самоконтроля.

Приложение содержит контрольные домашние задания (КДЗ) – тесты по всем темам. Они используются при проведении текущего контроля за ходом изучения учебного материала.

Наказание и иные меры уголовно-правового характера, применяемые к лицу, совершившему преступление, не могут иметь своей целью причинение физических страданий или унижение человеческого достоинства.

(УК РФ, Ст. 7, ч. 2)