6. Проверка адекватности модели

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (полученной кривой) строится на анализе случайной компоненты, которая получается после выделения из исследуемого ряда системной составляющей (тренда) и периодической составляющей, если она присутствует в ряду. Принято считать, что модель адекватна описанному процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, иногда свойствам центрированности остатков, независимости остатков, случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения (нормальности остатков).

Для определения ряда остатков необходимо сначала рассчитать теоретические (по модели) уровни временного ряда, то есть для каждого момента времени интервала оценивания фактическому уровню ставится в соответствие .

В предыдущем пункте были выбраны две лучшие модели аналитического выравнивания.

Для первого уровня ряда теоретическое значения определяется следующим образом. Уравнение линейной модели исходного ряда имеет вид:

где и .

Уравнение линейной модели сглаженного ряда выглядит так:

, где и .

Подставив необходимые значения получим:

– расчет для линейной модели;

– расчет для параболической модели.

Необходимо отметить, что при построении теоретических уровней временного ряда используется та же временная шкала, что и при расчете коэффициентов модели.

Результаты расчетов теоретических значений уровня общего объема экспорта для линейных моделей представлен на рисунке 6.1 и 6.2.

Рисунок 6.1 – график динамики объема общего экспорта и теоретических значений, рассчитанных по линейной модели по исходному ряду

Рисунок 6.2 – график динамики объема общего экспорта и теоретических значений, рассчитанных по линейной модели по сглаженному ряду (g=3)

Далее определяем для каждого уровня ряда отклонение фактических значений от рассчитанных по модели: .

Данные показаны на рисунке 6.3.

Рисунок 6.3 – расчет и

Проверка гипотезы об отсутствии автокорреляции остатков

Наиболее распространенным методом проверки гипотезы о наличии автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина-Уотсона, реализуемый в несколько этапов:

1. расчет суммы квадратов остатков ;

2. расчет суммы квадратов между соседними остатками ;

3. рассчитывается наблюдаемое значение статистики Дарбина-Уотсона по формуле:

Рисунок 6.4 – расчет статистики Дарбина-Уотсона по линейным моделям по исходным и сглаженным данным

d=0,45 – для линейной модели по исходным данным;

d=0,10– для линейной модели по сглаженным данным.

4. проверка гипотезы об отсутствии автокорреляции основывается на сравнении наблюдаемогоdи критических d₁ и d₂ статистики Дарбина-Уотсона, которую можно найти в таблице.

Критерий формулируется следующим образом.

Если значение d<2, то проверяется гипотеза о положительной автокорреляции:

- если d<d₁, то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

- если d₁<=d<= d₂, то данных для принятия решения недостаточно;

- если d>d₂, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается.

Если значение d>2, то проверяется гипотеза об отрицательной автокорреляции:

- если 4-d<d₁, то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

- если d₁<=4-d<= d₂, то данных для принятия решения недостаточно;

- если 4-d>d₂, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается.

Наблюдаемое значение статистики Дарбина-Уотсона для ряда остатков линейной модели (по исходным данным) равно d=0,45. Критические значения, соответствующие k=2 и n=103 при 5% уровне значимости равны 1,634 и 1,715. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается.

Наблюдаемое значение статистики Дарбина-Уотсона для ряда остатков линейной модели (по сглаженным данным) равно d=0,10. Критические значения, соответствующие k=2 и n=103 при 5% уровне значимости равны 1,634 и 1,715. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается.

Гипотеза о нормальности распределения остатков

Приблизительная проверка гипотезы о нормальности распределения остатков может быть осуществлена на основе показателей асимметрии и эксцесса.

Проверка гипотезы имеет несколько этапов:

1. расчет суммы квадратов, третьих и четвертых степеней остатков , , ;

2. расчет коэффициентов асимметрии (А) и эксцесса (Э) для линейных моделей определяется по формулам:

=0,12 и – по исходным данным;

=0,01 и – по сглаженным данным;

А также определяются среднеквадратичные ошибки этих коэффициентов по формулам:

В ходе вычисления были определены значения ошибок σ_А=0,234459 и σ_Э=0,044245.

3. проверка гипотезы о нормальности распределения остатков основывается на сравнении оценок коэффициентов асимметрии (А) и эксцесса (Э) с оценками из среднеквадратических ошибок σ_А и σ_Э. Сам критерий формулируется следующим способом:

- если одновременно выполняются два неравенства |А|<1,5σ_Аи <1,5σ_Э, то гипотеза о нормальном распределении остатков не отвергается;

- если выполняется хотя бы одно из неравенств |А|>=2σ_А и >=2σ_Э, то гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается;

- во всех других случаях для проверкигипотезы требуется применение более мощных критериев.

Таблица 6.1 – проверка гипотезы о нормальности распределения остатков для линейных моделей по исходным и сглаженным данным

А	0,12		|А|	0,121557	<	0,351688	1,5σА	гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается
Э	0,43		|Э+6/(n+1)|	0,486525	>	0,066368	1,5σЭ
σА	0,234459		|А|	0,121557	<	0,468918	2σА	гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается
σЭ	0,044245		|Э+6/(n+1)|	0,486525	>	0,088491	2σЭ

А	0,01		|А|	0,01392	<	0,351688	1,5σА	гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается
Э	0,57		|Э+6/(n+1)|	0,624487	>	0,066368	1,5σЭ
σА	0,234459		|А|	0,01392	<	0,468918	2σА	гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается
σЭ	0,044245		|Э+6/(n+1)|	0,624487	>	0,088491	2σЭ

Результаты по проверке гипотезы о нормальности распределения остатков для моделей предоставлены в таблице 6.1.

В обеих моделях гипотеза отвергается.

Во всех рассмотренных двух случаях (используя исходный временной ряд и ряд динамики при сглаживании), рассматривая линейные модели, был сделан вывод о том, что гипотезы об отсутствии автокорреляции и о нормальном распределении остатков отвергаются.