4. Аналитическое выравнивание (кривые роста)

Одним из наиболее эффективных способов выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. Сущность этого метода состоит в представлении уровней временного ряда в виде функции от времени(кривой роста)

Оценка параметров кривых роста осуществляется методом наименьших квадратов, в соответствии с которым выбираются те параметры, при которых сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений y_t от полученных по модели , минимальна: .

Линейная модель

Линейная модель вида используется для описания процессов, развитие которых протекает равномерно во времени. Линейная модель описывается двумя параметрами: , интерпретируемый, как параметр начальных условий, и , интерпретируемый, как скорость роста.

В случае линейной модели решение системы уравнений, полученной при минимизации функционала , позволяет получить несложные аналитические формулы для оценки параметров.

Для расчета коэффициентов модели сначала необходимо определить произведения y_t·t и t² для первого уровня ряда.

Далее производится суммирование показателей по всем уровням ряда.

Полученные результаты показаны на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – расчет y_t·t и t², сумм t, , t²

Получение суммы позволяют рассчитать значения коэффициентов линейной модели по формулам, определенным с помощью МНК:

=

, где

n – число уровней ряда

Динамика ряда общего экспорта РФ описывается линейной моделью:

, где , а (скорость роста).

Формулы расчетов коэффициентов модели могут быть упрощены, если перейти к центрированной временной шкале, то есть перенести начало координат в середину ряда динамики. Тогда в случае нечетного числа наблюдений (n=2p+1) начало координат (t=0) будет соответствовать уровню ряда с номером (p+1).

Для расчета коэффициентов линейной модели, как и в случае произвольной временной шкалы, сначала необходимо определить суммы значений t, y_t , y_t·t и t² по всем уровням временного ряда. Результаты представлены на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 – расчет y_t·t и t², сумм t, , t².

Далее на основании полученных сумм рассчитываются значения коэффициентов линейной модели по формулам:

Динамика ряда общего экспорта РФ описывается линейной моделью при центрированной временной шкале:

, где , а .

Параболическая модель

Параболическая модель вида используется для описания процессов, развитие которых характеризуется равноускоренным ростом (или снижением). Параболическая модель описывается тремя параметрами: , интерпретируемый как параметр начальных условий, , интерпретируемый как скорость роста и , интерпретируемый как ускорение роста.

В случае параболической модели решение системы уравнений, полученной при минимизации функционала , позволяет получить несложные аналитические формулы оценки параметров только для центрированной временной шкалы.

Для расчета коэффициентов модели сначала необходимо определить произведения y_t·t, t², y_t·t² и t⁴ для первого уровня ряда. Результаты показаны на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3 – расчет параметров и сумм t, y_t·t, t², y_t·t² и t⁴

Полученные суммы позволяют рассчитать значения коэффициентов линейной модели по формулам, определенным в соответствии с методом наименьших квадратов:

,

Получаем, что динамика ряда оборота общественного питания описывается параболической моделью:

, где а₀ =32,86, а₁ =0,25, а₂ =0,00.

Аналогичным способом находят уравнения линейной и параболической моделей для простого сглаженного ряда.

Показаны результаты расчетов y_t·t и t², сумм t, , t² для линейной модели и при центрированной временной шкале на рисунках 4.4 и 4.5.

Рисунок 4.4 – расчет y_t·t и t², сумм t, , t² при обычной временной шкале

Были рассчитаны параметры линейной модели и построено уравнение , где , а .

Рисунок 4.5 – расчет y_t·t и t², сумм t, , t² при центрированной временной шкале

Были рассчитаны параметры линейной модели при центрированной временной шкале и построено уравнение , где , а .

Для расчета коэффициентов модели были определены произведения y_t·t, t², y_t·t² и t⁴ для первого уровня ряда, а также определены суммы показателей по всем наблюдениям. Результаты показаны на рисунке 4.3.

Рисунок 4.6 – расчет параметров и сумм t, y_t·t, t², y_t·t² и t⁴ для параболической модели

Были рассчитаны параметры параметрической модели сглаженного ряда и построено уравнение , где а₀ =32,24, а₁ =0,29, а₂ =0,00.

Для того, чтобы определить, какое из этих 6 уравнений более отражает ситуацию, проведен прогноз, который будет рассчитываться этими уравнениями.

Реальное исходное значение для 01.08.2013г. – 42,2 млрд.рублей.

1. Исходный временно ряд

- линейное модель (простая шкала) = =45,84 млрд.руб.;

- линейное модель (центрированная шкала) = млрд.руб.;

- параболическая модель = млрд.руб.

2. Сглаженный временной ряд 3 порядка

- линейное модель (простая шкала) = =48,18 млрд.руб.;

- линейное модель (центрированная шкала) = млрд.руб.;

- параболическая модель = млрд.руб.

Таким образом, из всех представленных моделей, наилучшим решением будет являться линейная модель при обычной шкале, построенная по исходному временному ряду и имеющая уравнение . Также можно и применить линейную модель сглаженного ряда, описанную уравнением .