3.3. Пересечение плоскости с прямой общего положения

Чтобы найти точку пересечения прямой общего положения АВ с плоскостью общего положения Q, нужно:

1) через прямую провести вспомогательную плоскость Р (посредник) частного положения;

2) построить линию пересечения (1-2) вспомогательной плоскости Р с заданной;

3) найти точку (I) пересечения заданной прямой с линией пересечения плоскостей (Рис.3.3).

Задача: Найти точку пересечения прямой FE с плоскостью, заданной треугольником ABC (Рис.3.4).

Рис. 3.3. Пересечение прямой линии с плоскостью

Рис. 3.4. Пресечение прямой линии с плоскостью на эпюре

Решение.

1. Проводим через прямую EF фронтально проецирующую плоскость Р (след Р_v);

2. Находим линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей (1-2);

3. В пересечении горизонтальных проекций прямых FE (F_нE_н) и 1-2 (1_н 2_н) находим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью (I_н). Точка I_v строится по линии связи.

Видимость прямой и плоскости определяется по конкурирующим точкам (Рис.2.10а, б).

3.4 Взаимное пересечение плоскостей общего положения

Рассмотрим пример, в котором плоскости заданы треугольником и параллелограммом (Рис. 3.5). Требуется построить линию пересечения этих фигур. Для построения искомой линии достаточно найти две точки, в которых стороны одной фигуры пересекают плоскость другой фигуры. Поэтому возьмем одну из сторон параллелограмма, например, EF, и найдем точку пересечения ее с плоскостью треугольника. Для построения точки I, в которой прямая EF пересекает плоскость треугольника, проведем через EF горизонтально-проецирующую плоскость Р (след Р_н), находим проекции 1_н, 2_н и 1_v, 2_v линии пересечения проведенной вспомогательной плоскости Р с треугольником. В пересечении прямых 1_v 2_v и E_vF_v находим I_v и затем I_н, т.е. искомую точку. Таким же образом, посредством вспомогательной плоскости R, найдена точка II, в которой сторона параллелограмма DK пересекается с плоскостью треугольника. Остается соединить одноименные проекции найденных точек I и II.

Рис. 3.5. Взаимное пересечение плоскостей

Видимость плоских фигур определяется с помощью конкурирующих точек.

При помощи плоскостей – посредников можно найти общие точки, принадлежащие двум пересекающимся плоскостям, не имеющих общих точек на чертеже (Рис.3.6). Вводим горизонтальную плоскость – посредник Р (след P_v). Эта плоскость пересекает заданные плоскости по линиям уровня (горизонталям 1-2 и 3-4), в пересечении которых и лежит общая для всех трех плоскостей искомая точка I (проекции I_v и I_н). Для определения второй общей точки (II) проводится вспомогательная плоскость S.

Рис 3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей, не имеющих общих точек

3.5. Прямая, параллельная плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в плоскости.

Задача: Через точку А провести одну из возможных прямых, параллельных заданной плоскости (Рис.3.7).

Решение.

Чтобы построить прямую, параллельную заданной плоскости, следует взять в плоскости какую-либо прямую (например, D1) и параллельно ей через точку А провести искомую прямую. Можно также провести прямую, параллельную одной из сторон треугольника.

Рис. 3.7. Прямая параллельная плоскости