2.4.1. Теорема о проекциях прямого угла

Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере, одна из его сторон была параллельна плоскости проекций, а вторая – не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.2.11а, б).

Рис. 2.11. Проекции прямого угла на эпюре:

А) на фронтальной плоскости проекции; б) на горизонтальной плоскости проекции

Доказательство: Пусть имеем в пространстве прямой угол ВАС. Проецируем его на плоскость Н ортогонально. Предположим, что сторона АВ данного угла параллельна плоскости Н. Тогда имеем: ÐВАС = 90˚; АВ || Н; АА_н^Н. Докажем, что ÐВ_нА_нС_н = 90º (Рис.2.12). ÐА_нАВ = 90°, т.к. фигура АА_нВВ_н – прямоугольник. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к проецирующей плоскости Q как перпендикулярная к двум прямым этой плоскости (АВ^АС; АВ^АА_н). Поэтому АВ^Q, но А_нВ_н || АВ отсюда и А_нВ_н ^Q, а это означает, что ÐВ_нА_нС_н = 90º.

2.5. Ортогональные проекции плоскости

Плоскость представляет собой множество точек, которые при проецировании в общем случае покроют всю плоскость проекций, не давая на ней изображения. Поэтому плоскость в пространстве на проекциях определяют расположенные в ней элементы.Такими элементами, определяющими плоскость, могут быть: три точки не лежащие на одной прямой (Рис.2.14а), прямой и не принадлежащей ей точки (Рис.2.14б), две параллельные прямые (Рис.2.14в), две пересекающиеся прямые (Рис.2.14г), плоская фигура (Рис.2.14д).

Рис. 2.14. Задание плоскости на эпюре

Кроме этого плоскость может быть задана следами(Рис.2.15а,б).

Рис. 2.15. Задание плоскости следами:

А) в диметрии; б) на эпюре

Прямые, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций называются следами плоскости. Р_н – горизонтальный след, Р_v – фронтальный след и Р_w – профильный след.

Точки Р_X, Р_Y, Р_Z называются точками схода следов.

2.5.1. Прямая и точка в плоскости

Задание плоскости на чертеже любым из перечисленных способов единственным образом определяет проекции всех точек и прямых, принадлежащих плоскости.

Прямая CD, проходящая через две точки C и D, лежащие в плоскости, заданной прямыми АВ и CD, принадлежит этой плоскости (рис.2.16).

Рис. 2.16. Принадлежность прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести в этой плоскости прямую. Если точка М принадлежит плоскости АВС (Рис.2.17а, б), то по одной заданной проекции М_н можно определить другую проекцию М_v и притом единственную. Для этого через точку М (М_н) проведем какую-либо прямую АN (A_нN_н), принадлежащую данной плоскости; по линиям связи найдем вторую проекцию прямой (А_vN_v) и на ней соответствующую точку М_v.

В качестве такой вспомогательной прямой часто берут линии уровня, лежащие в данной плоскости.

Рис. 2.17. Принадлежность точки плоскости:

А) заданной прямоугольником; б) заданной следом

2.5.2. Особые линии плоскости

К особым линиям плоскости относятся горизонталь плоскости, фронталь плоскости и линии наибольшего наклона к плоскости Н (линия ската).

Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости Н (Рис.2.18а, б).

Рис 2.18 Горизонталь плоскости

Фронталь плоскости – прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости V (Рис.2.19а, б).

Рис 2.19 Фронталь плоскости

Линия ската S плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная к горизонтали плоскости (Рис.2.20а, б). Линия ската определяет угол наклона a плоскости к плоскости проекции Н.

Рис. 2.20 Линии ската плоскости:а)S =ВК в плоскости АВС;б) S=АВ в плоскости заданной следами Р_V и Р_H

Плоскость на чертеже может быть задана линией ската и горизонталью (как двумя пересекающимися прямыми). Этот способ является рациональным, т.к. достаточно задать положение линии ската, а горизонталь строится перпендикулярно к ней.