НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

(технические специальности)

Учебное пособие

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия – одна из учебных дисциплин, составляющих основу инженерного образования, она излагает методы, которые применяются при составлении и чтении чертежей.

В курсе начертательной геометрии рассматриваются следующие основные вопросы:

1) построение изображений пространственных форм на плоскости, т.е. составление чертежей;

2) решение геометрических задач в пространстве при помощи чертежей на плоскости, т.е. чтение чертежей.

Следовательно, в начертательной геометрии свойства предметов изучаются непосредственно по чертежу. Для того, чтобы чертеж был геометрически равноценным изображаемому предмету (оригиналу) он должен отвечать следующим требованиям:

1) чертеж должен быть наглядным;

2) чертеж должен быть обратимым, т.е. таким, чтобы по нему можно было точно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета;

3) чертеж должен быть достаточно простым для графического выполнения.

Для технических чертежей требование «обратимости» особенно важно. Чертеж является производственным документом, по которому выполняется то или иное изделие. Поэтому необходимо, чтобы по чертежу можно было точно установить форму и размеры будущего изделия. Никакое описание предмета не может заменить чертеж.

Для того, чтобы чертеж отвечал предъявляемым к нему требованиям, он должен быть построен по определенным геометрическим законам.

Метод проецирования

1. Центральная проекция

Выберем в пространстве плоскость проекций, которую обозначим буквой Р. Выберем также точку S, не лежащую в плоскости Р, и назовем ее центром проекций (Рис.1.1). Плоскость Р и точка S составляют аппарат центрального проецирования. Проецирование проводится следующим образом: если дана произвольная точка А пространства, то для построения ее проекции на плоскость Р проводится прямая SA и находится точка пересечения А_р прямой SA с плоскостью Р.

Точка А_р является центральной проекцией точки А на плоскость Р. Прямая SA называется проецирующей.

Рис. 1.1. Центральная проекция точек

Для построения проекций нескольких точек следует через взятые точки и центр проекций провести проецирующие прямые до пересечения их с плоскостью Р. Полученные точки и будут являться центральными проекциями соответствующих точек А, В, С.

При заданном центре и плоскости проекций данная точка имеет единственную проекцию, так как проецирующая прямая может пересечься с плоскостью проекций только в одной точке. Одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве, т. к. на проецирующей прямой, например, SD_P может лежать множество точек, как-то точки D₁ и D₂ (Рис.1.1).

2. Параллельная проекция

Если центр проекций удалить в бесконечность, то проецирующие прямые станут параллельны между собой. Вместо центра проекций задается направление проецирования S (см. рис.1.2) и плоскость проекций Р. Проекции точек А, В и т.д. можно получить, если провести проецирующие прямые АА_р, ВВ_р и т.д., параллельно S. А_р, В_р, С_р – проекции соответствующих точек. В зависимости от направления проецирования параллельные проекции делятся на прямоугольные (S^P) и косоугольные (S не ^Р).

Рис. 1.2. Параллельная проекция точек

Свойства параллельных проекций

1. Проекция прямой линии есть прямая линия (Рис.1.3). Плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми АВ и АА_р, пересекает плоскость проекций Р по прямой А_рВ_р.

Рис. 1.3. Проекции прямых линий Рис. 1.4. Проекции пересекающихся прямых

Исключение составляет проекция прямой линии, которая параллельна направлению проецирования. Такая прямая проецируется в точку (Рис.1.3).

Следствия из свойства.

- Если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на соответствующих проекциях прямой (Рис.1.3)

- Если две прямые пересекаются, т.е. проходят через одну точку Е, то и соответствующие проекции этих прямых пересекаются, проходят через проекции точек пересечения Е_р (Рис.1.4).

Рис. 1.5. Проекции параллельных Рис. 1.6. Проецирование

прямых отрезков прямой

- Если прямые АВ и СD параллельны, то и соответствующие их проекции параллельны, т.е. А_рВ_р ÷÷ C_pD_p (Рис.1.5).

Отношение отрезков параллельных прямых равно отношению их проекций: (Рис.1.6).

Рис. 1.7. Проекции отрезков параллельных прямых

- Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций (Рис.1.7).