ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«МАТИ» – Российский государственный технологический университет

имени К.Э. Циолковского

______________________________________________________

Доклад на тему:

«Неевклидова геометрия и путь к теории относительности Эйнштейна»

Студент Тома Юрий факультет 3 группа 3АСУ-188

Москва 2013

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия всегда встречала со стороны философов живой интерес, часто сопровождаемый резко отрицательным отношением.

Прежде всего эта дисциплина дает ответ на вопрос о том, какой характер имеют геометрические аксиомы, рассматриваемые с точки зрения чистой логики. А именно, из самого факта существования неевклидовой геометрии можно непосредственно заключить, что евклидова аксиома отнюдь не является следствием предпосланных ей основных понятий и аксиом и не имеется ничего такого, что логически понуждало бы нас к ее принятию. Действительно, заменяя ее противоречащим ей допущением и сохраняя неизменными все прочие аксиомы, мы не только не приходим ни к какому противоречию, но получаем неевклидову геометрию в качестве дисциплины, столь же безупречной логически, как и евклидова геометрия. Таким образом, та особенность нашего представления о пространстве, описание которой дает аксиома параллельности, во всяком случае, не является чисто логической необходимостью.

Но в таком случае спрашивается: нельзя ли разрешить вопрос об истинности аксиомы параллелей с помощью чувственной интуиции? И по этому вопросу неевклидова геометрия тоже дает важные указания, а именно: безусловно неверным является мнение, будто непосредственное чувственное восприятие учит нас существованию в точности одной параллели. Дело в том, что наше восприятие пространства отнюдь не обладает абсолютной точностью и что и здесь, как и во всякой другой области чувственного восприятия, мы не в состоянии воспринимать как различные те величины (отрезки, углы и т. д.), разность между которыми лежит ниже известного предела, так называемого порога. В частности, если через точку О провести две прямые чрезвычайно близко одну к другой (рис. 123), то мы наверное не будем в состоянии различить их между собой, если только угол между ними будет достаточно мал, например равен 1".

Поэтому представляется затруднительным вывести из непосредственного созерцания заключение, о том, проходит ли через О действительно одна и только одна параллель к g или же две, но отстоящие одна от другой всего лишь на такой незначительный угол. Мы почувствуем это еще яснее, если представим себе, что О лежит невероятно далеко от g, скажем на расстоянии от Сириуса до Земли или даже в миллионы раз дальше.

При таких расстояниях чувственное созерцание совершенно теряет ту остроту, которую вообще считают свойственной ему, и наши глаза абсолютно неспособны различить, имеется ли одна или две параллели к данной прямой g соответственно определений параллели как предельного положения вращающегося луча.

С этим положением вещей неевклидова геометрия первого рода мирится фактически так же хорошо, как и евклидова. Как вы увидите еще яснее из тех математических формул, которые я сейчас сообщу, неевклидова геометрия первого рода содержит одну произвольную постоянную; оперируя ею надлежащим образом, можно сделать угол между обеими параллелями к g, проходящими через умеренно удаленную от g точку О, как угодно малым, и только по мере удаления точки О от g этот угол будет приобретать все более заметную величину.

Таким образом, поскольку верно то, что наше восприятие пространства охватывает только ограниченную его часть и притом с ограниченною точностью, наше восприятие может быть удовлетворено сколь угодно точно посредством некоторой НГ I.

Но совершенно аналогично обстоит дело и с НГ II. Необходимо только отдать себе отчет в том, что бесконечная длина прямых тоже не является обязательным выводом из непосредственного чувственного созерцания.

Мы можем проследить всякую прямую только в пределах некоторой конечной части пространства, поэтому мы не впадем в противоречие с нашими восприятиями, если скажем, что прямая имеет хотя и невероятно большую, но все же конечную длину, быть может, равную нескольким миллионам или даже еще большему числу расстояний до Сириуса;

Фантазия может, конечно, придумывать здесь сколь угодно большие числа, выходящие за пределы всякой возможности непосредственного созерцания. Ввиду этих соображений можно как угодно точно представить геометрические отношения во всякой ограниченной части пространства также и посредством НГ II (тоже содержащей произвольный параметр).

Затронутые здесь логические и интуитивные факты, изложенные так, как они представляются с точки зрения математики, идут, конечно, в высокой степени вразрез с тем ортодоксальным пониманием пространства, которое многие философы связывают с именем Канта и согласно которому все теоремы геометрии должны иметь абсолютную силу. Этим объясняется, почему неевклидова геометрия вызвала столько раздражения и сопротивления в этих философских кругах с самого начала их знакомства с нею.

Путь к теории относительности Эйнштейна

Каковы были решающие этапы в развитии эйнштейновской теории относительности? Хотя это довольно трудная задача, я постараюсь сделать их понятными для читателя. Из обсуждения будет исключен ряд вопросов, например проблема эфира, связь с принципом «относительности» Галилея. Область, с которой столкнулся Эйнштейн в ходе титанического процесса мышления, оказалась очень широкой, поскольку она охватывала большинство фундаментальных проблем современной физики — трудные вопросы, неведомые тем, кто не знаком со сложностями современной физики. Хотя следующий далее набросок и будет по необходимости сжатым, я надеюсь, что читатель сможет понять характер этих решающих этапов. То были удивительные дни, когда начиная с 1916 г. мне посчастливилось, сидя наедине с Эйнштейном в его кабинете, часами слушать рассказ о тех драматических событиях, которые завершились созданием теории относительности. В ходе этих длительных обсуждений я подробно расспрашивал Эйнштейна о конкретных событиях в его мышлении. Он описывал мне эти события не в общих словах, а подробно излагал генезис каждого вопроса. В оригинальных статьях Эйнштейна излагаются полученные им результаты. Но в них не рассказывается об истории его мышления. В одной из своих книг Эйнштейн поведал о некоторых этапах своего мышления. Я процитирую его в соответствующих местах этой главы. Драма развертывалась на протяжении нескольких актов.

Акт I. Зарождение проблемы.

Эйнштейн столкнулся с проблемой в 16 лет, когда он учился в гимназии (Aarau, Kantonschule). Он был не слишком хорошим учеником, но продуктивно работал над тем, что его интересовало. Он самостоятельно занимался физикой и математикой и поэтому знал об этих предметах больше, чем его одноклассники. Именно тогда его начала по-настоящему волновать важная проблема. Он напряженно работал над ней в течение семи лет; однако ему понадобилось лишь пять недель, считая с того момента, когда он начал сомневаться в привычном понятии времени (см. Акт VII), для того, чтобы написать статью по теории относительности — хотя в это время он целыми днями работал в патентном бюро. Не очень ясно, как начинался процесс, и поэтому его трудно описать; пожалуй, он зародился в состоянии некоторого удивления. Сначала возникли такие вопросы: что будет, если побежать за лучом света? Что произойдет, если оседлать пучок света? Если побежать за убегающим лучом, то уменьшится ли при этом его скорость? Если бежать достаточно быстро, то не перестанет ли он двигаться вообще?.. Молодому Эйнштейну это казалось странным. Тот же луч света для другого человека будет иметь Другую скорость. Что есть «скорость света»? Если я буду знать скорость относительно какого-нибудь объекта, то ее значение для другого объекта, который сам движется, будет другим. (Странно думать, что при некоторых условиях свет будет двигаться в одном направлении быстрее, чем в другом.) Если это верно, то отсюда можно сделать выводы в отношении движущейся Земли. Тогда можно будет, экспериментируя со светом, установить, находимся ли мы в движущейся системе! Эта мысль захватила Эйнштейна, он старался найти методы, с помощью которых можно было бы установить или измерить движение Земли, — и только позже он узнал, что физики уже провели такие эксперименты. Его желание придумать такие эксперименты всегда сопровождалось некоторым сомнением в том, что это действительно возможно; как бы то ни было, он чувствовал, что должен это решить.

Он сказал себе: «Я знаю, что скорость луча света зависит от системы отсчета. Что произойдет, если принять другую систему отсчета, кажется понятным, но следствия этого весьма загадочны».