2. Определители.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n.

Опр. 1. Определителем или детерминантом n-го порядка матрицы А называется число

где сумма вычисляется по всем перестановкам вторых индексов.

Обозначения определителя: , det A, или в полной записи:

.

Используя определение определителя порядка n, получим формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядка.

При n = 2 перестановок вторых индексов будет 2! = 2, одна четная – (12) и одна нечетная (21), следовательно:

(1.4)

При n = 3. Следовательно:

(1.5)

Опр. 2. Минором элемента матрицы А называется определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент).

Например:

если и т. д.

Опр. 3. (Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число, равное

Утверждение 1.3 (О разложении определителя по строке)

Определитель равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

(1.6)

Свойства определителей

1°. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы , т. е.

det A = det .

2°. Если хотя бы одна строка матрицы А состоит из нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.

3°. °. Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки, равен нулю

4. При перестановке (транспозиции) любых двух строк в матрице, у определителя этой матрицы изменится знак.

5°. Если все элементы некоторой строки матрицы умножить на действительное число , то определитель этой матрицы умножится на .

6°. Пусть матрицы А, В, С отличаются друг от друга только k-й строкой, причем элементы k-й строки матрицы С равны сумме соответствующих элементов k-х строк матриц А и В т.е.

тогда

7°. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на число .(8°. (Теорема аннулирования). Сумма произведений элементов, какой либо строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, т.е. ) (1.7)

(8°. (Теорема аннулирования). Сумма произведений элементов, какой либо строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, т.е.

) (1.7)

Опр. 5.Матрица называется невырожденной, если , и вырожденной в противном случае. Определитель выгоднее раскрывать по той строке (столбцу), где:

1) нулей побольше; 2) числа поменьше.

Примеры вычисления определителей мы с вами подробно разбирали на занятии.

1.Вычислить определитель

2. Обратная матрица. Обратной матрицей A-1 к матрице A называется такая матрица, что: , Где E – единичная матрица. Рассмотрим квадратную матрицу  . Обратную матрицу   можно найти по следующей формуле: , где   – определитель матрицы  ,   – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  . Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д. Пример: Найти обратную матрицу для матрицы  Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам. 1) Сначала находим определитель матрицы. Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ. В рассматриваемом примере, как выяснилось,  , а значит, всё в порядке. 2) Находим матрицу миноров  . Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица  , то есть в данном случае  .  Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек. Возвращаемся к нашей матрице   – матрица миноров соответствующих элементов матрицы  . 3) Находим матрицу алгебраических дополнений  . Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:  – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  . 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  . 5) Ответ. Вспоминаем нашу формулу  Таким образом, обратная матрица: Как проверить решение? Необходимо выполнить матричное умножение   либо  Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах). Таким образом, обратная матрица найдена правильно. Если провести действие  , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно.

1.7. Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу . Выберем в матрице А произвольно k строк с номерами i1, i2, … , ik и k столбцов с номерами j1, j2, ... , jk, . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу Аk порядка k. Определитель матрицы Аk называется минором k-гo порядка (минором порядка k) и обозначается или, когда не важно, какие именно строки и столбцы выбраны, обозначается Mk, т.е. по определению Mk = det Аk. Например, если и выбраны строки c номерами i1 = 1, i2 = 3 и столбцы с номерами j1 = 2, j2 = 4, то Число миноров второго порядка для этой матрицы равно 18. Наивысший порядок миноров, не равных нулю, называется рангом матрицы и обозначается символами: rаng А или rA. Из этого определения легко получить следующее правило для нахождения ранга матрицы: если найден минор порядка r не равный нулю и любой минор порядка r + 1 равен нулю, то ранг матрицы А равен r. Пример 1.2. Найти ранг матрицы: . Решение. Здесь , следовательно rаng А = 2. Вычисление ранга матрицы по определению приводит к очень громоздким и длительным вычислениям, поэтому чаще всего он вычисляется с помощью элементарных преобразований матрицы. Элементарные преобразования матрицы: 1) перестановка (транспозиция) строк (столбцов) матрицы; 2) умножение всех элементов отроки (столбца) матрицы на действительное число ; 3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на действительное число. Утверждение 1.4. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Ввиду небольшого количества занятий и весьма нашей обширной программы курса следующая тема 4(Множества) предлагается для самостоятельного изучения.

Тема. 4. Множества.

Опр.1. Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Опр.2.1.2 Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква К – элемент множества букв русского алфавита).

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:

А; {а, b, c}; {,,,}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа  (в противном случае используется символ ).

Запись аА означает, что а есть элемент множества А. Аналогично имеем: {,,}.

Запись 4{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

Основными способами задания множества являются:

1. перечисление всех его элементов: А={а₁, а₂, а₃, …, а_n};

2. описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов: М={хN х2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два.

Опр.2.1.3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.

Опр.2.1.4 Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .