13

Новая Лин.алгебра

Соболева Линейна алгебра. Лекция 2.

Тема 2. Линейная алгебра.

1. Элементы линейной алгебры

1.1. Понятие матрицы

Опр. 1. Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.

Для обозначения матриц используются прописные буквы латинского алфавита: А, В, С, ....

Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. В обозначениях элементы матрицы, снабжаются двумя индексами i, j, первый индекс – номер строки, второй индекс – номер столбца, в которых находится элемент, т.е. (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) элементы матрицы. Таким образом, полное обозначение матрицы имеет вид:

. (1.1)

Для краткого обозначения матрицы будем использовать запись:

(1.2)

Числа m и n называются размерами матрицы, т.е. (1.1), (1.2) – записи матрицы размеров m на n (m строк и n столбцов).

Опр. 2. Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n.

Опр. 3. Матрица, в которой столбцы заменены строками, а строки столбцами, называется транспонированной и обозначается .

Опр. 4. Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами называются главной диагональю, т.е. элементами главной диагонали будут:

Транспонированная матрица получается из матрицы А поворотом на 180° относительно главной диагонали. Например,

если

1.5. Действия над матрицами

Рассмотрим две матрицы одинаковых размеров m n: , . Обозначим через I множество, состоящее из первых m чисел натурального ряда, т.е.

I = {1, 2, ..., m}.

1. Опр.5 Матрицы А и В называются равными, если

,

т.e. в которых равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Обозначается: А = В.

2. Опр. 6. Суммой матриц А и В называется матрица , элементы которой определяются по формулам:

т.e. элементы матрицы С равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Обозначается: С = А + В.

3. Опр. 7.Произведением матрицы А на действительное число называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

т.е. каждый элемент матрицы А умножается на число .

Обозначается: .

Пусть теперь , , т.е. число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

4. Опр8. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица размера m n , элементы которой вычисляются по формуле:

,

т.е. элемент матрицы С с номерами i и j равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (правило «строка на столбец»). Обозначается: .

Например, если то элементы матрицы будут равны:

,

таким образом

.

Произведение матриц не коммутативно (не перестановочно)!, т.е., вообще говоря, .

Опр. 9. если все-таки , то матрицы А и В называются перестановочными.

Опр.10. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0, называется единичной и обозначается: Е.

Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей порядка n, так как нетрудно убедиться, что .

Опр.11. Определим понятие обратной матрицы. Оно определяется только для квадратных матриц. Далее А – квадратная матрица порядка n.

Матрица называется обратной к матрице А, если

Поэтому матрицы А и называются взаимно обратными.