П.11.2. Критерии точности измерений
Точность измерения может быть охарактеризована абсолютными (точными) или относительными ошибками.
Примеры абсолютных ошибок и отклонений:
-
среднее квадратическое отклонение и
средняя квадратическая ошибка:
и
-
среднее отклонение и средняя ошибка:
и
-
вероятное отклонение и вероятная ошибка:
и
Предельная
величина (ошибка):
или
Среднее отклонение – это такое значение ошибки, для которого удовлетворяется свойство:
Рассмотрим связи между и ; и
1.
Если
,
то
,
следовательно:
и
или
2.
- подвергается нормальному закону распределения
,
считаем, что систематические ошибки
равны 0, следовательно, математическое
ожидание равно 0.
Значит
;
;
.
Произведя полученные замены, получим:
Для
нормального закона распределения ошибок
измерения:
Примеры относительных ошибок:
-
относительная средняя квадратическая
ошибка
-
предельная относительная средняя
квадратическая ошибка
Эти две относительные ошибки используют чаще, чем относительную вероятную среднюю квадратическую ошибку.
П.11.3. Понятие веса
Под весом некоторой -ой величины понимают значение дисперсии:
,
где
- дисперсия некоторого эталонного
измерения.
Таким
образом, вес
тоже
является относительной мерой точности,
которая показывает, во сколько раз
эталонное измерение точнее или менее
точно, чем
-ая
величина (относительная, так как отношение
дисперсий).
Пусть
,
тогда
,
то есть за эталонное измерение берут
такую величину, где вес равен единице.
Важно понимать, что эталонное измерение берется одно для всей группы измерений, которые обрабатываются совместно.
Эталонное не значит, что самое точное, может быть даже фиктивным (то есть могло и не измеряться), но должно быть постоянным.
То есть определяем, насколько более точно или менее точно были сделаны измерения относительно этого эталона.
Среднее квадратическое отклонение измерения, вес которого равен 1 равносилен средней квадратической ошибке единицы веса:
,
то есть средняя квадратическая ошибка
эталонного измерения (измерения величины,
вес которой равен единице).
Причины нужности веса:
- вес нужен, так как не всегда известны средние квадратические отклонения, а для вычисления веса эти характеристики не нужны.
- можно совместно вычислить величины
Пр.:
рассмотрим нивелирную сеть с известными
длинами ходов:
,
,
…,
.
По каждому километру определяем превышения, тогда общее превышение по ходу будет состоять из суммы превышений по всему ходу.
Будем считать, что по каждому километру хода точность будет одинакова.
По
определению:
Какое измерение взять за эталонное, если взять ход длиной км, то:
Получаем
В случае однородных измерений вес – величина безразмерная (то есть для величин одной размерности), но возможны ситуации, когда вес становится размерным, - при разнородных измерениях (например, при линейных и угловых). В этом случае получаем:
-
размерность секунды на см или минуты
на м.
При обработке измерений, где веса размерны, нужно следить за размерностью, чтобы получить поправки в соответствующих единицах.
Пр.:
пусть имеется среднее арифметическое:
измерений с одинаковой точностью.
Требуется найти вес среднего
арифметического:
,
то есть вес простой середины равен
,
если за эталон берем одно измерение,
иначе:
,
где
- количество приемов.