§11.Основные сведения из теории ошибок

- разность между результатом измерения и истинным значением

- случайная составляющая ошибки измерения

- систематическая составляющая ошибки измерения

Возьмем математическое ожидание самой величины :

Таким образом, математическое ожидание ошибки измерения равняется систематической составляющей (если , то ) – первый постулат теории ошибок.

Второй постулат теории ошибок: ошибки измерения подчиняются нормальному распределению:

, если не учитывать составляющую .

Обычно теория ошибок рассматривает только составляющую , так как она является случайной.

Систематическая составляющая имеет свойство накапливаться, а случайная составляющая - компенсироваться в результате осреднения, поэтому от стараются избавиться, например, с помощью методики измерения, введения поправок и т.д.

Систематические ошибки делятся на три группы:

1. Постоянные систематические ошибки (то есть имеющие постоянный знак и постоянную величину).

Пр.: возьмем линейку длиной 15см, ошибка измерения равна 1мм – она постоянна и вводится при измерении величин.

2. Односторонне действующие систематические ошибки (то есть имеющие постоянный знак, но переменную величину)

3. Систематические ошибки, которые действуют (проявляются) по некоторому функциональному закону, например, по синусоидальному закону.

Пр.: несоосность при вращении алидады горизонтального круга ликвидируют за счет введения методики, учитывающий этот закон (измерения при круге лево и круге право).

П.11.1. Свойства кривой Гаусса

1. Кривая лежит выше оси абсцисс (связано с распределением)

2. В случае отсутствия систематических ошибок график симметричен относительно оси ординат

3. Кривая имеет один максимум:

Выражение в скобках не может быть равно нулю, следовательно:

, если

- максимальное значение достигается при

4. Данная кривая имеет две точки перегиба, абсциссы которых равны .

Возьмем вторую производную , чтобы найти точку перегиба:

5. Касательная в точках перегиба пересекает кривую в этой точке и отсекает от оси абсцисс отрезок равный .

Рассмотрим уравнение касательной и уравнение и найдем их пересечение:

- уравнение касательной

и

, следовательно,

Получим не , а , так как рассматриваем касательную в точке , следовательно, аналогично в точке получим

6. Для данной кривой действует правило двух сигм и трех сигм ( и ).

В пределах сосредоточена площадь

В пределах сосредоточена площадь

Из свойств ошибок кривой вытекают свойства ошибок измерений:

1. Положительные и отрицательные ошибки встречаются одинаково и часто

2. Меньшие по абсолютному значению ошибки встречаются чаще, чем большие

3. Свойство компенсации: вероятностный предел суммы ошибок измерения равен нулю:

- следует из теоремы Чебышева

4. Действует правило и , то есть измерения не превосходят с вероятностью , а - с вероятностью (то есть из 1000 измерений только 3 ошибки, а из 100 – 4-5 ошибок).